教えて欲しいです！
回答
回答
AとBが対称でかつ等しくないので、例えばAの方がBより小さいということにしても本質的に変わらないからそうしてみると、
0 < A < B
1/A > 1/B
1/A + 1/A > 1/A + 1/B = 2/65
1/A > 1/65
0 < A < 65
となるので、Aに1～64までを全て代入してみれば答は出ます。
しかしこの手の問題でよくある評価ではありますがあまりに面倒くさいので頭に留めておくだけにして別の方法を試みます。
右辺を通分すると
2/65=(A+B)/ABとなり、
2AB=65(A+B)が成立します。
右辺が65の倍数なので、左辺も65の倍数、そして2と65が互いに素であることよりABが65の倍数だとわかります。
ABは正なので適当な自然数nを用いて
AB=65n ・・・(1)
と表せます。
すると
2×65n=65(A+B)
A+B=2n ・・・(2)
となります。
(1)と(2)から、「解と係数の関係」より、AとBは二次方程式
x^2 - 2nx + 65n = 0
の2解となります。
これを解くと、
x=n±√(n^2-65n)
となります。
これはAとBなので自然数になるはずで、またnも自然数なので、√(n^2-65n)は整数になります。
また、√(n^2-65n)は0以上なので、適当な0以上の整数mを用いて
√(n^2-65n)=m
と表せます。
よって
AとBはn-mとn+mです。 ・・・(3)
また、
n^2-65n=m^2
n^2-65n-m^2=0
が成立します。
nについて解くと、
n=(65 ± √(65^2+4m^2))/2
となります。
よって、
±√(65^2+4m^2)=2n-65
(√(65^2+4m^2)=2n-65または-√(65^2+4m^2)=2n-65)
が成立し、nは自然数なので√(65^2+4m^2)は整数だとわかります。
√(65^2+4m^2)は0以上でもあるので、適当な0以上の整数kを用いて
√(65^2+4m^2)=k
と表せます。
よって、
n=(65 ± k)/2 ・・・(4)
すると、
65^2+4m^2=k^2
(k-2m)(k+2m)=5^2×13^2
となります。
k+2mは0以上の整数であり、5^2×13^2が0でないことよりk+2mも0でなく、k+2mは自然数だとわかります。
よってk-2mは正となり、整数であることと合わせて自然数とわかります。
よって、
また、mが0以上であることより
k-2m ≦ k+2m
が成立します。
よって、
(k-2m,k+2m)=(1,4225),(5,845),(13,325),(25,169),(65,65)
と候補がしぼられます。
(5^2×13^2の正の約数の個数が(2+1)×(2+1)=9個であることと整合してることを確認しながら列挙)
連立方程式をそれぞれ解いて、
(k,m)=(2113,1056),(425,210),(169,78),(97,36),(65,0)
となります。
次に(4)を用いてnを求めます。kが全てのパターンで65以上で、またnは自然数であることより0より大きいので±はいずれも＋の方のみを採用し、
(n,m)=(1089,1056),(245,210),(117,78),(81,36),(65,0)
となります。
(3)を用いてAとBを求めると、
33と2145,35と455,39と195,45と117,65と65
となります。
計算すると確かに1/A+1/Bが2/65になります。
A≠Bだったので、「65と65」を省いたもので全部だと思います。
この質問を見ている人は
こちらの質問も見ています😉
頼むよ～(T^T)