ページ1:

難問, f ((sinx)^2)/(x^2)dxの不定積分
に挑戦
積分,特殊関数
10
共有 PDF ・ 編集
削除
♪ 難問, / sin' xdxの不定積分に挑戦
x²
問題 1
次の不定積分を求めよ.
1
sin?
x2
X
-dx
私が以前作り,解こうとして挫折した問題です.
ですがネットで解き方を調べてみて,
面白い解き方をするみたいなので
Mathlogに載せてみようと思いました.
では早速解いてみましょう.
(残念ながら参考文献は忘れました)

ページ2:

1
/
sin2 x
x2
-dx = ∫ sin' xdxであり
x-
(sin' xy = ('-cos2x)=-1/ (cos2xy = -
1
2x)'
=
*t { _zdx = {x²dx = =x^' = = = tot
部分積分法より
sin2 x
-dx sin x.
x2
=
--
X
なので
-
(-1) - / sin 2x (-1
-
(積分定数は考えないものとする)
途中までは部分積分法で解けるのですが
sin 2x
途中に出てくる/
-dx を解くことができませ
X
ん.
気になって調べてみたのですが,
この積分は特殊関数 (基本的に数3の範囲外にある関
数)を
使わなければどう頑張っても解けないようです.
今回は正弦積分という特殊関数を使います.

ページ3:

1
/sin2dx=/sinx/dxであり
2s-2(sin2s) - (2x)=sion 2.
2x)(2x)'
x2
=
1
(cos
1
=
2
また∫-dx
tc ƒ =>dx = { x²²dx = =x¯¹
=-x-1
=
1
--
なので
X
部分積分法より
sin2 x
sin 2x
- / sin 2x.
dx =
+
-dx
x
x
X
(積分定数は考えないものとする)
途中までは部分積分法で解けるのですが
sin 2x
途中に出てくる/
-dx を解くことができませ
X
ん.
気になって調べてみたのですが,
この積分は特殊関数 (基本的に数3の範囲外にある関
数)を
使わなければどう頑張っても解けないようです.
今回は正弦積分という特殊関数を使います.

ページ4:

定義(正弦積分)
sin x
Si(x)
=
-dx
x
(積分定数は考えないものとする)
sin 2x
この特殊関数を使って∫
-dx を求めてみます.
X
sin 2x
sin 2x
S
-dx =
2∫
== 2Si(2x) となります.
x
2x
積分の値が分かったので,問題の続きに戻りましょ
う.
sin²
X
/ /
x2
-dx =
(Cは積分定数)
sin2 x
+
x
sin 2x
sin
-dx =
x
J
これが答えとなります.
2Si(2x) で答えになるのはしっくりきませんが
特殊関数なのでこれで大丈夫なようです.

ページ5:

定義(正弦積分)
sin x
Si(x)
=
-dx
x
(積分定数は考えないものとする)
sin 2x
この特殊関数を使って∫
-dx を求めてみます.
X
sin 2x
sin 2x
S
-dx =
2∫
= 2Si(2x) となります.
x
2x
積分の値が分かったので、問題の続きに戻りましょ
う.
in2 x
+
X
sin 2x
x
(Cは積分定数)
sin 2
x
-dx
=
+ 2Si(2x) + C
X
これが答えとなります.
2Si(2x) で答えになるのはしっくりきませんが
特殊関数なのでこれで大丈夫なようです.