5個の中から0個取り出す組み合わせは何通りでしょう?
5個のものがあります. 何も取り出さない方法は何通りでしょう?
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1通りですよね. だからC(5,0)=1です.
0!=1であることに注意すると
C(n,0)=n!/(n-0)!0!=n!/n!0!=1
と一般に証明できます.
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1!=1
n!=n*(n-1)![n≧2]
と階乗を帰納的に定めると
0!=1
n!=n*(n-1)![n≧1]
と0!も含めて拡張出来ます.
ありがとうございます！
「n!=n*(n-1)![n≧2]
と階乗を帰納的に定めると
0!=1 」
ここの流れがいまいちよく分かりません(*_*)💦
階乗というのはn!=n(n-1)…1として定義されている, と学校では習うと思います.
このままでは0!を定義できないので,
n!=n*(n-1)![n!と(n-1)!の隣接する2つの階乗の関係], 1!=1[何かひとつ決まればn!の値が決まります. そこで1!をとります.]
と定義しなおします. つまり
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n=1のとき, 1!=1 [これを出発点とします.]
n-1=1⇔n=2のとき, 2!=2*(2-1)!=2*1![1!は上から決まっています]=2
…
n=mのとき, m!=m*(m-1)! [(m-1)!はn=m-1のときに既に決まっているのでm!も定まります.]
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このようなドミノ倒しのように定めるやりかたを"帰納的に定義する"と言います.
これは自然数そのものの性質(ペアノの原理)に由来するもので, 詳しくは高校で習います.
今はn!がうまく構成されていることだけを理解してくれれば十分です.
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n=0でこの構成が矛盾なくうまくいく[数学ではwell-definedと言います. いい日本語訳がないので英語のまま.]ためには
1!=1*(1-1)!⇔1=1!=0!
でなくてはいけません.
したがって0!=1として定義する, ということです.
例えば0!=0ならば1!=1*(1-1)!=1*0=0, 2!=2*1!=0…となって, すべてが0になってしまいます.
これではn!をうまく構成されていないので0!≠0と判断できます.
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本来は高校で学ぶ内容なので中学生には少し難しかったかもしれません.
しかし, すべてで理屈が通じるためにはこう構成していく必要がある, という部分は分かってもらえると思います.
難しいですね…でもなんとなく雰囲気はつかめました！何度も何度もありがとうございます！！！☺️
ありがとうございます！
…数学的な証明方法とかってありますか？？