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答えは合っています. ただし答案としては意味をなしていません.
|OP|・n=±8と-x+√3y[どこから出てきたのか分かりません]=±8
がどう繋がるのかは説明不足で読み取れません. これでは点を与えるのは無理です.
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ベクトル(a,b)に垂直で点(p,q)を通る直線はa(x-p)+b(x-q)=0.
したがって一般に(a,b)を法線ベクトルとする直線はax+by+c=0と書けます.
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点P(p,q)と直線l: ax+by+c=0の距離は,|ap+bq+c|/√(a^2+b^2)です[阪大でそのまま問われたことがあります].
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ベクトルを利用した証明だと...
点P(p,q)から直線l:ax+by+c=0に下した垂線の足をHとする. ここでPHが求めたい距離である.
ベクトルPHは直線lの法線ベクトルに平行なので適当な実数αをとって, PH=α(a,b)
OH=OP+PH=(p,q)+α(a,b)=(p+αa,q+αb)
Hは直線l上にあるから, a(p+αa)+b(q+αb)+c=0⇔α=-(ap+bq+c)/(a^2+b^2)
PH=|PH|=|α|√(a^2+b^2)=|ap+bq+c|/√(a^2+b^2).
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おそらくなっちゃんさんはこれと同じことをやりたかったんだと思います.
誰が読んでもすぐに答案を理解してもらえるように論理的に書く練習をしましょう.
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[解答例]
(-1,√3)を法線ベクトルとする直線はaを実数として-x+√3y+a=0で与えられる.
その中で原点Oからの距離が4のものは4=|-0+√3*0+a|/√{(-1)^2+(√3)^2}=|a|/2⇔|a|=8⇔a=±8
したがって-x+√3y±8=0⇔x-√3y±8=0が求めるべき直線の方程式である.
もう一度読み返してみましたが,
"Oから求めるべき直線に下した垂線の足P(x,y)": これは1点でしかありません. 混同を避けるために(x_0,y_0)と書くべきでしょう.
したがってOP・n=-x+√3yは定数に過ぎないのですが, あたかも直線であると勘違いしています[ここが今まで分からなかった].
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その方法で解くなら
-x_0+√3y_0=±8と距離が4の条件を表すx_0^2+y_0^2=16との連立方程式を解くとy_0=±2√3, x_0=̠∓2.
法線が(-1,√3)の直線の方程式: -x+√3y+a=0上に(x_0,y_0)があるので, 代入してa=∓2-√3(±2√3)=∓8を得る.
以上からx-√3y±8=0が求めるべき直線.