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具体的に一個あげてみれば分かりやすいかと思います
問2
単射f:X→Y の例として
f(1)=0, f(2)=2, f(3)=4
があります。このとき、
(i)g⚪︎f＝1_X は
(g⚪︎f)(1)=1, (g⚪︎f)(2)=2, (g⚪︎f)(3)=3 ⋯ ①
と同値です
①⇔g(f(1))=1, g(f(2))=2, g(f(3))=3
⇔g(0)=1, g(2)=2, g(4)=3
となるので、g(0),g(2),g(4) の値は定まり、g(6),g(8) については制約がありません
したがって求めるgに対して g(6), g(8) の値がそれぞれ3通り考えられるため、
3×3=9(個)
他の単射fに対しても全く同様に考えられるため、答えは9個です
(ii)f⚪︎g=1_Y は
(f⚪︎g)(0)=0, (f⚪︎g)(2)=2, (f⚪︎g)(4)=4,
(f⚪︎g)(6)=6, (f⚪︎g)(8)=8 ⋯ ②
と同値です
②⇔f(g(0))=0, f(g(2))=2, f(g(4))=4, f(g(6))=6,
f(g(8))=8
となります
よって
g(0)=1, g(2)=2, g(4)=3
が定まりますが、g(6) についてはどのように決めても
f(g(6))=6
にはできません
したがって条件を満たすgは存在しないです
他の単射fに対しても全く同様に考えられるため、答えは0個です
問3も考え方は近いです
