Question

Raiki

解答の添削をお願い致します．

【問題】
dy/dx=x/y(1-x²) について以下の問に答えなさい．ただしx²<1，y≠0とする．

a) y(0)=1のときの微分方程式の解を求めなさい．
b) a)で求めた解yが実数となるxの範囲を示しなさい．

【解答】
a)
変数分離してyの解を求めると，
y=√(C-log|1-x²|) (C:積分定数) ◼︎

b)
平方根の中身が正であればよいから，
1-log|1-x²|>0
これより，
e>1-x²
x²>1-e
√(-1+e)<x<√(1-e)

また，
(1-x²)≠0
であるから，
x≠-1，1 ◼︎

★ b)の解答に自信がありません．
ご教示のほどよろしくお願いします．

微分方程式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

(a)
単に打ち間違いかと思いますが、初期条件が与えられているのでCには1が入るのではないでしょうか
また、問題文に x²<1 とあるのでlogの絶対値は外れます
以上より
y＝√{1-log(1-x²)}
ではないかと

(b)
平方根の中身が正であればよいことや
1-log(1-x²)>0
⇔e>1-x²
⇔x²>1-e
などは正しいですが、そのあとはなんか変ですね
よく考えると
x²>1-e
は全ての実数xで成り立つため、結局この条件からはxの範囲は制限されません
よってはじめにあった条件
x²<1
が答えになると思います

Raiki

ご回答くださりありがとうございます。

(a)は打ち間違えていました。ご指摘ありがとうございます。

(b)ですが、確かにx²>1-eはいま意味のない条件ですね…

もう一度見直して解き直したところ、全て納得できました。感謝です。

gößt

よかったです(｀・ω・´)