Question

Lllll

(2)がよくわかりません ><

何故a+b=8/3、ab=k/3なのか
②どうやったら(a-b…の式に辿り着けるのか
何故平方数になれば良いのか等

特に②詳しくしてくれるとありがたいです💧

Answer 1

きらうる

解と係数の関係とは、本来高校の数学2という範囲で行うものなのですが、この問題を解く以前に習っていますか？
一応公式を載せておきます。
ax²+bx+c=0　の解をα，βとすると、
α+β＝-b/a　αβ=c/a　と書けます。
3x²-8x+k=0　の解をa,bとしているので、
a+b=-(-8)/3＝8/3　ab=k/3　となっています。

②
a-bが自然数になるためには…とありますので、まずa-bを作らなければなりません。
ここで、(a-b)²=a²-2ab+b²…①、(a+b)²=a²+2ab+b²…②であることを用いて
②を変形したa²+b²=(a+b)²-2ab　を①に代入して
(a-b)²=(a+b)²-2ab-2ab＝(a+b)²-4ab
とおくことができます。

また、a-bが自然数となるためには、(a-b)²が何かの数の2乗になっていればいいわけです。
例えば(a-b)²が9であった場合、a-bは3か-3のどちらかになります。
(a-b)²が5であった場合、a-bは±√5となるので自然数になりません。
解説にあるように、(a-b)²=(64-12k)/9となっているので、
64-12kは、少なくとも9を因数に持ち(9で約分できないと自然数にならないから)、さらに何かの数の2乗、つまり平方数をもてばいいという考えに至るわけです。

いかがでしょうか。

Lllll

何故(a-b)の二乗＝、(a+b)二乗＝…になるのですか？

マッダー

公式です

Lllll

ありがとうございます！

Answer 2

マッダー

まず、最初の二式は解と係数の関係の公式ですので、覚えてください。2ですが、解と係数の関係しか、aとbの関係式ぎないのでそれを使います。そのためにa-bをa+bの式に変えたいのです。だから、このような式になってます。最後の平方数になるというところはa-bの二乗が(64-12k)/9ですよね。まず、自然数ということは分母を消したいので9×になってます。次に、64-12kのルートが自然数でないと、a-bは自然数になりません。ルートということは、この、64-12kが自然数の二乗になっていればいいので、平方数になればよいと書いてあります

Lllll

aとbの関係式ぎないとはどういう意味でしょうか？
a-bを計算するのに何故二乗したり-4abになったりするのか教えていただけますか？💦