Question

Roy

この行列式を因数分解した形で求めるやり方を教えてください!

行列 線形代数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

ファンデルモンドかと思ったら違うんですね

素朴に余因子展開します
| 1 1 1 1 |
| a b c d |
| a² b² c² d² |
| a⁴ b⁴ c⁴ d⁴ |

(④-a²×③, ③-a×②, ②-a×①)
＝| 1 1 1 1 |
| 0 b-a c-a d-a |
| 0 b²-ab c²-ac d²-ad |
| 0 b⁴-a²b² c⁴-a²c² d⁴-a²d² |

＝| b-a c-a d-a |
| b²-ab c²-ac d²-ad |
| b⁴-a²b² c⁴-a²c² d⁴-a²d² |

＝(b-a)(c-a)(d-a)×
| 1 1 1 |
| b c d |
| b²(b+a) c²(c+a) d²(d+a) |

(③-b(b+a)×②, ②-b×①)
＝(b-a)(c-a)(d-a)×
| 1 1 1 |
| 0 c-b d-b |
| 0 c²(c+a)-bc(b+a) d²(d+a)-bd(b+a) |

＝(b-a)(c-a)(d-a)×
| c-b d-b |
| c²(c+a)-bc(b+a) d²(d+a)-bd(b+a) |

＝(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)
| 1 1 |
| c(c+b+a) d(d+b+a) |

＝(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b){d(d+b+a)-c(c+b+a)}

＝(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(a+b+c+d)

gößt

もちろん、多項式であることに注目するのもありです

問いの行列式は7次の同次式で、因数定理より a,b,c,d の中の異なる二数の差で割れるため
| ⋯ |＝(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(pa+qb+rc+sd)
と書けるはずです。あとは係数比較で
p=q=r=s=1
が導かれます

Roy

ありがとうございます!
私はこれファンデルモンドの応用かなと思ったのですが違ったんですね（笑）

gößt

まあファンデルモンド行列式の導出を真似して解いたので応用でもありますね