withには非常に多くの意味や用法があるのですが、そのうちの１つに
with 物 ：物を用いて
という意味があります。
この文章の場合ですと、
eat my lunch with 物：物（お箸やスプーン、フォークなど）を用いて昼食を食べる
の“物”がanythingとして前に出てきていたので省略されて、withが残ったという形になっています。
このほかにも
with 人：人と一緒に
with 物：物を持って、物のせいで、物と一緒に
with （感情を表す）形容詞：形容詞のせいで
with O C（付帯状況のwith）：OをCにしたままで
といった用法があり（これで全部ではない）、とてもではないですがそう簡単に全てを覚えきることはできません。ですのでwithの根幹のイメージとして
with 何か：「何か」を伴って
と考えると、初めて見るwithの用法にもある程度対応できる様にもなります。withの全ての用法に適用出来るわけではないですが、役に立つこともあるので参考程度に覚えておくといいと思います。
