Question

ゲスト

問の(ii)の解き方を教えて頂きたいです。答えは2枚目の写真になります

微分積分 ベクトル解析

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

(i)より
∂f/∂r＝cosθ(∂f/∂x)+sinθ(∂f/∂y)⋯①
∂f/∂θ＝(-y)(∂f/∂x)+x(∂f/∂y)⋯②
ここで
(∂/∂r)(∂f/∂x)=cosθ(∂²f/∂x²)+sinθ(∂f/∂y∂x)
(∂/∂r)(∂f/∂y)=cosθ(∂f/∂x∂y)+sinθ(∂²f/∂y²)
(∂/∂θ)(∂f/∂x)=(-y)(∂²f/∂x²)+x(∂f/∂y∂x)
(∂/∂θ)(∂f/∂y)=(-y)(∂f/∂x∂y)+x(∂²f/∂y²)
である

よって、①の両辺をrで偏微分すると
∂²f/∂r²
＝cosθ(cosθ(∂²f/∂x²)+sinθ(∂f/∂y∂x))
+sinθ(cosθ(∂f/∂x∂y)+sinθ(∂²f/∂y²))
＝(x/r)²(∂²f/∂x²)+2(xy/r²)(∂f/∂x∂y)+(y/r)²(∂²f/∂y²)⋯③
(∵ fはC²級なので ∂f/∂x∂y=∂f/∂y∂x)

また、②の両辺をθで偏微分すると
∂²f/∂θ²
＝(-x)(∂f/∂x)+(-y)((-y)(∂²f/∂x²)+x(∂f/∂y∂x))
+(-y)(∂f/∂y)+x((-y)(∂f/∂x∂y)+x(∂²f/∂y²))
＝-(x(∂f/∂x)+y(∂f/∂y))
+y²(∂²f/∂x²)-2xy(∂f/∂x∂y)+x²(∂²f/∂y²)
＝-r(∂f/∂r)+y²(∂²f/∂x²)-2xy(∂f/∂x∂y)+x²(∂²f/∂y²)⋯④

③+(1/r²)×④より
∂²f/∂r²+(1/r²)(∂²f/∂θ²)
＝((x²+y²)/r²)(∂²f/∂x²)+((x²+y²)/r²)(∂²f/∂y²)-(1/r)(∂f/∂r)
＝∂²f/∂x²+∂²f/∂y²-(1/r)(∂f/∂r)
ゆえに
∂²f/∂x²+∂²f/∂y²＝∂²f/∂r²+(1/r)(∂f/∂r)+(1/r²)(∂²f/∂θ²)
なので
∂²/∂x²+∂²/∂y²＝∂²/∂r²+(1/r)(∂/∂r)+(1/r²)(∂²/∂θ²)

ゲスト

すいません、詳しい回答ありがとうございます。

②の両辺をθで偏微分するとき、なぜ
-(x(∂f/∂x)+y(∂f/∂y))がでてくるのでしょうか？

②をθで偏微分するとどうしても

(∂^2f/∂θ^2)=y^2(∂^2f/∂х^2)-2xy(∂f/∂x∂y)+x^2(∂^2f/∂y^2)

になってしまうのですが、、

gößt

おそらく、x,yを定数扱いして微分しているのでは？
x,y はθの関数なので、例えば
(∂/∂θ){(-y)(∂f/∂x)}
=(∂(-y)/∂θ)•(∂f/∂x)+(-y)•(∂/∂θ)(∂f/∂x)
のようになります
この ∂(-y)/∂θ)•(∂f/∂x) の部分から (-x)(∂f/∂x) が出てきますね。(-y)(∂f/∂y) の出どころも似たような感じです

ゲスト

なるほど、そういうことだったんですね。分かりやすい回答ありがとうございます！