Question

れい

写真の公式はどのように導かれたものですか？
何故xの係数aの処理の仕方が1/aなのでしょうか。
自分で証明しようとしたのですが思いつかなかったので教えて欲しいです。よろしくお願いします。

積分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

@Ganymede＋

【証明】(ax+b)^nの不定積分
※関数f(x)をxで微分したときD[f(x)]と表すとする。
微分の公式より
D[(ax+b)^n]=na(ax+b)^{n-1}
ここでnをn+1に置き換える。（nは0以上の整数より）
D[(ax+b)^{n+1}]=(n+1)a(ax+b)^{n}
よって、(ax+b)^{n}=D[(ax+b)^{n+1}]/(n+1)a
(n+1)aはxに関係ないのでD[]の中に入れることができて、
(ax+b)^{n}=D[(ax+b)^{n+1}/(n+1)a]
両辺をxで積分して、
int(ax+b)^{n}dx=(ax+b)^{n+1}/(n+1)a +C (C:constant) ■

れい

詳しい回答ありがとうございます！
殆ど理解できたのですが、１つだけ質問大丈夫ですか？
3〜4行目の微分の公式というのを恐らく私は知らないのですが、解説お願いできますか？手間がかかるようなら無理しなくて大丈夫です🙇‍♂️その後の式は理解できたので。

@Ganymede＋

合成関数の微分公式です。
※xでの微分をDx[]、yでの微分をDy[]と表すことにします。
微分の公式より
Dx[x^n]=nx^{n-1}
となりますが、ここでy=y(x)としてxの関数yを考えると
Dy[y^n]=ny^{n-1}
ここで、
Dx[y^n]の値は、
Dx[y^n]=Dy[y^n]Dx[y]
となります。
D[(ax+b)^{n+1}]の場合は、y=ax+bとして
Dy[y^n]を求めてからDx[ax+b]をかければよいとわかります。(全体を微分してから中身を微分してかける)

れい

解説ありがとうございます！
数IIIの内容も使うのですね。近々履修する予定なので教えていただき助かりました！参考にしながらこれから学習していきます！

@Ganymede＋

がんばってください。