388
基本 例題 58 条件付き確率の計算 (2)
...
場合の数利用
00000
3個のさいころを同時に投げ, 出た目の最大値を X, 最小値をYとし、その差
X-YをZとする。
(1) Z=4 となる確率を求めよ。
(類 センター試験)
( Z=4 という条件のもとで,X=5となる条件付き確率を求めよ。
p.385 基本事項
指針▷ (1) 1X66 から, Z=4 となるのは, (X, Y) = (5, 1), (62) のときである
この2つの場合に分けて, Z=4となる目の出方を数え上げる。
(2) Z4となる事象をA, X=5 となる事象をBとすると,求める確率は 条件付き確率
P (B) である。 (1)n(A), n (A∩B) を求めているから,
n(A∩B)
PA(B)=
n(A)
を利用して計算するとよい。
←全体をAとしたときのA∩Bの割合
基本例題
59 確率の乗法定理 (1)
....
くじ引きの確率
389
00000
10本のくじの中に当たりくじが3本ある。 一度引いたくじはもとに戻さない。
(1) 初めにa が1本引き, 次にbが1本引くとき, 次の確率を求めよ。
na, b ともに当たる確率
(イ) b が当たる確率
初めaが1本ずつ2回引き, 次にbが1本引くとき, a, b が1本ずつ当たる
確率を求めよ。
p.385 基本事項 2
指針 順列の考え方でも解けるが,ここでは, 確率の乗法定理を利用して解いてみよう。
「a, bの順にくじを引く」, 「引いたくじはもとに戻さない (非復元抽出)」 から, aの結果
bの結果に影響を与える。 よって、 経過に伴うくじの状態に注目して確率を計算する
(1) aが当たるという事象を A, b が当たるという事象をBとする。
求める確率はP(A∩B) であるから
P(A∩B)=P(A)P (B)
1
bが当たる場合を2つの事象(a, b), fax, bO} ○当たり、×はずれ
に分ける。 2つの事象は互いに排反であるから、最後に加法定理を利用する。
る。
る。
2章
9
2)
条件付き確率
1)
解答
(1) Z4となるのは, (X, Y) =(5, 1), (6, 2) のときである。 Z=X-Y=4から
[1] (X, Y) = (5,1)のとき
る
解答
X=Y+4
当たることを○, はずれることを×で表す。
このような3個のさいころの目の組を, 目の大きい方から
順にあげると,次のようになる。
3!
3!
この場合の数は
+3×3! + =24
2!
2!
(5, 5, 1), (5, 4, 1), (5, 3, 1), (5, 2, 1), (5, 1, 1)
Y= 1 または Y=2
X≦6 であるためには
が当たるという事象をA, b が当たるという事象をBと
記述を簡単にする工夫。
する。
(7) P(A)=3
10'
P(B)= 2 であるから,求める確率は
組 (5,5,1)と組
m
P(A∩B)=P(A)P(B)=
[2] (X, Y) = (62) のとき
[1] と同様にして, 目の組を調べると
(5,1,1)については、同
じものを含む順列を利用。
(6, 6, 2), (6, 5, 2), (6, 4, 2), (6, 3, 2), (6, 2, 2)
(同じものがない1個の数
が入る場所を選ぶと考えて、
3!
3!
=3x2.
+
この場合の数は
+3×3! +
2!
2!=24
以上から, Z= 4 となる場合の数は
24+24=48 (通り)
48 2
よって, 求める確率は
639
(2) Z4となる事象をA, X=5 となる事象をBとすると,
求める確率は
n(ANB)
24 1
PA (B)=
=
n(A)
48 2
P(B)
_P(A∩B)n(A∩B)
P(A)
n(A)
B
(検討
3
上の例題において, a が当たる確率は
一般に
Cとしてもよい。)
他の3組については順列を
利用。
10 9 15
bが当たるのは,{a O, b◯}, {a x, b◯} の場合があ
りこれらの事象は互いに排反である。 求める確率は
P(B)=P(A∩B)+P(A∩B)=P(A)PA (B)+P(A)P(B)
10 9
7 3 3
=-
10 9 10
(2) a, b が1本ずつ当たるのは, {a, a x, b◯},
ax,O,b} の場合があり, これらの事象は互いに排反
である。 求める確率は
a がはずれたとき, bは当
たりくじを3本含む9本の
くじから引く。
P(A∩BNC)
-x-x
+
10
7
9 8 10 9 8 60
7 3 2
X-
=P(A)PA (B) PAB (C)
3
aが当たったとき, bは当
-x2
1
たりくじを2本含む9本の
くじから引く。
は
で,これは(1)(イ)で求めたbが当たる確率と第
2次試験の時などで
例えばどう言った場合で排反を書いたら良いのでしょうか？