Question

lozb

(3)の続きおしえてほしいです。数列の最後の問題がなかなか解けるようにならなくて、、、

1 【2025年進研記述模試・4月B6】
を定数とする。 数列 { a m} を次のように定める。
a=p+(-1)" (n=1, 2, 3, )
(2+(1) (4-3)
このとき,,=3である。 また, 等差数列{bm) があり, b2+b=18,6263=45である。
(1) の値を求めよ。 また, 1, 2, 43 をそれぞれ求めよ。
A₁ = 1
N=1
P=2
1.1=1
(2) bm n を用いて表せ。
92=3
hn= 4n-3
α2 = 1
h=2
3.5=15
(3) aibi+azbz+a:bs+aby を求めよ。 また, ab(n=1, 2, 3, …)をnを用
いて表せ。
11-3
1.9=9
(配点50)
h=4
3.13=39
0+30=3
64.
a4- P+1
3 = P+1
P=2
A₁ =2+(-1)1
=1
42=2+(-1)2
=3
A3= 2+ (+1)³
hr+d+h+3d = 18
2b1 + 4d = 18
I
why+20=9-0
(hi+d) (₁h₁+2d) = 45
(hitd)9=45
h₁² + 3 hid + 2d² = 45
(9-20)²+ 30 (9-20)+2d=45
4d-36d+8/+22d-bd² +2d=45
-7d +36 = 0
941+90=45
hi+d=5-
①、②より、
h1+2d=9
3
-141+0-5
d= 4 hr = 1
よって
Gn= 1+ (n-1).4
hu= 4n-3

1 【2025年進研記述模試・4月B6】
♪を定数とする。 数列{a} を次のように定める。
an=p+(-1)" (n=1,2,3, ......)
このとき,=3である。 また, 等差数列{bm}があり, b2+b=18,626s=45である。
(1) pの値を求めよ。 また, 1, 2, 3 をそれぞれ求めよ。
(2)
bm を n を用いて表せ。
(3) ab+ab2+a3bs+ab」 を求めよ。 また, abk (n=1, 2, 3, ....
いて表せ。
配点 (1)8点 (2) 20点 (3) 22点
解答
(1)
k=1
am=p+(-1)" (n= 1, 2, 3, ......)
a3 であるから
p+(-1)^=3
p+1=3
(3)
(2)より, b=4n-3 であるから, (1) の結果と合わせて
abitab2+abs+aba
=1・1+3.5+19 +3・13
=1+15+9+39
=64
次に,(1) より a=2+(-1)"
(配点50) k=1,2, 3, nに対して
a2k-1=2+(-1)2-1=2-1=1
a2k=2+(-1)=2+1=3
また, (2) より b=4n-3
k= 1, 2, 3, n に対して
b2k-1=4(2k-1)-3=8k-7
bk=4.2k-3=8k-3
よって
asbi
p=2
このとき, a2+(-1)" であるから
α1=2+(-1)'=2-1=1
az=2+(-1)=2+1=3
αs=2+(-1)=2-1=1
(2)
圈 p=2, a1= 1, a2=3, as=1
等差数列{bm} の初項をb, 公差をd とすると
bw=b+(n-1)d
b2+b=18 より (b+d) + (b+3d) 18
これを整理して b+2d=9
b2b = 45 より (b+d) (b+2d=45
①を②に代入して (b+d).9=45
すなわち b+d=5
① - ③ より d=4
d=4 を③に代入して 6+4=5 よって b=1
以上より b=1+(n-1)・4
すなわち b"=4n-3
[(2)の別解〕
数列{bm} は等差数列で, b2+b=18 であるから
b2+bx=263
すなわち, 26s=18 より bg=9
したがって, bbs = 45 より 962=45
よって b2=5
ゆえに、数列{bm} の公差をd とすると
d=bs-b2=9-5=4
さらに
b=ba-d=5-4=1
以上より
bm=b1+(n-1)d=1+(n-1)・4
すなわち bm=4n-3
〔(3)
答 bw=4η-3
答 b=4n-3
=ab+azb2+asbs+aba+....+a21b2-1+a2b2月
=(abi+αsbs++α2μ-162m-1)+(ab+aba+....+αzmb2m)
a2k
1.(8k-7)+3.8k-3)
={(8k-7)+3(8k-3)}
=(32k-16)
= 32k-161
=32.11n(n+1)-16m
(16n2+16n)-16n
=16n2
閤abitabu+asbu+a,b=64,2abx=16m²
(32k-16)を求める部分の別解
(32k-16)
n{16+(32n-16)}
32m2
2
= 16n2
2

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

フラッグ

お手元の教材とあまり変わらないかもですが、できるだけ丁寧に説明しました。質問等ありましたらどうぞ。

lozb

めっちゃ理解できました！！😭また機会あればお願いします🙇‍♀️ありがとうございます！

Answer 2

ブドウくん

もう解決済みになってるんですが、一応別の考え方を書いておきます。この問題は、(-1)^nが出てくる都合上、工夫して計算していてそれ自体大切な考え方ではあります。ただ、もっと汎用的な考え方で解くことはできます。
anは等比数列+2で、bnは等差数列なので、その積をとると、等差×等比になります。この等差×等比の数列の和は、教科書の応用問題として必ず扱われて、等比数列の和の公式の証明としても使われているものです。こういう典型パターンのストックを増やしていくことで、模試の最後のような少し難しい問題にも対応できるようになります。

ブドウくん

AIに端的な解答を書かせました。

解答プロセスの要約
* 一般項の展開と分離
一般項 a_k b_k を (2 + (-1)^k) b_k = 2b_k + (-1)^k b_k と展開します。これにより、一括では計算できない式を、計算可能な二つのパーツに分けます。
* 各パーツの計算
* 前半（等差数列の和）： \sum 2(4k-3) を計算します。項数が 2n である点に注意して公式を適用すると、 16n^2 - 4n が導かれます。
* 後半（等差 × 等比）： \sum (4k-3)(-1)^k に定石の S - rS 法を適用します。公比が -1 なので、項が交互に打ち消し合い 4n が残ります。
* 結果の統合
算出した二つの値を足し合わせます。


負の項が綺麗に消え、シンプルな結果にまとまります。
まとめ
「等比数列ではないもの（a_n）」が含まれていても、展開して等比数列のパーツを抽出することで、学んだ定石をフル活用できるようになります。

lozb

ありがとうございます！！！とても助かります😭視野が広がりました！忘れてるので復習します💪