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全体的な方針としては、与えられた条件と既存の定理・性質から、分かるところを1つずつ探していきます。
＜15：CD＞
円に内接する四角形の性質より、∠ABC＋∠ADC＝180°なので、cos∠ADC＝cos(180°－∠ABC)＝－cos∠ABC＝－1/4
△ACDについて、余弦定理より、AC²＝AD²+CD²－2AD･CDcos∠ADC
CD＝xとし、AC＝4、AD＝3、cos∠ADC＝－1/4を代入すると、16＝9＋x²－6x･(－1/4)＝x²＋(3/2)x＋9
2x²＋3x－14＝(2x＋7)(x－2)＝0
x＞0なので、x＝2■
＜16：cos∠BAD＞
△ABCについて、AB＝ACなので、∠ABC＝∠ACB
円周角の定理より、∠ACB＝∠ADB
よって、cos∠ADB＝cos∠ABC＝1/4
△ABDについて、余弦定理より、AB²＝AD²＋BD²－2AD･BDcos∠ADB
BD＝xとし、AB＝4、AD＝3、cos∠ADB＝1/4を代入すると、16＝9＋x²－6x･(1/4)＝x²－(3/2)x＋9
2x²－3x－14＝(2x－7)(x＋2)＝0
x＞0なので、x＝7/2
再び△ABDについて、余弦定理より、cos∠BAD＝(AB²＋AD²－BD²)/(2AB･AD)＝(16＋9－(49/4))/24＝51/96＝17/32■
(別解)
BC＝CDなので、∠BAC＝∠CAD ⇒ ∠BAD＝2∠BAC
△ABCについて、余弦定理より、cos∠BAC＝(AB²＋AC²－BC²)/(2AB･AC)＝(16＋16－4)/32＝7/8
倍角の公式より、cos(2∠BAC)＝2cos²∠BAC－1＝49/32－1＝17/32■
＜17：BE＞
△ABDについて、AEは∠BADの二等分線なので、AB：AD＝BE：DE
BE＝xとし、AB＝4、AD＝3、DE＝BD－BE＝(7/2)－xを代入すると、4：3＝x：((7/2)－x)
3x＝14－4x ⇒ x＝2■
(別解)
∠BAC＝∠CAD、円周角の定理より∠CAD＝∠CBD ⇒ ∠BAC＝∠CBD
よって、△ABC∽△BEC (∠BAC＝∠EBC、∠ACB＝∠BCE)
したがって、BE＝BC＝2■
＜参考：AE＞
∠BAC＝∠CAD、円周角の定理より∠ACB＝∠ADB
よって、△ABC∽△AED (∠BAC＝∠EAD、∠ACB＝∠ADE)
したがって、AE＝AD＝3■
(別解)
△ABC∽△BECより、AB：BE＝BC：EC
AB＝4、BE＝2、BC＝2なので、EC＝1
AE＝AC－CE＝4－1＝3■
＜18：△ABEの内接円の半径＞
△ABEの内心をI、内接円の半径をrとすると、△ABE＝△IAB＋△IAE＋△IBE
＝(AB･r)/2＋(AE･r)/2＋(BE･r)/2＝(AB＋AE＋BE)･r/2＝(4＋3＋2)･r/2＝(9/2)r
また、△ABE＝AB･AEsin∠BAE/2
sin∠BAE＝√(1－cos²∠BAE)
cos∠BAE＝cos∠BAC＝7/8
sin∠BAE＝√(1－49/64)＝√(15/64)＝√15/8
△ABE＝AB･AEsin∠BAE/2＝12√15/16＝3√15/4
したがって、(9/2)r＝3√15/4
r＝√15/6■
ありがとうございます！