数学
高校生
解決済み
解答の四行目で右辺整数から左辺整数でqが1と絞り込んでいるのですが、これが思いつかなかったです。どうすれば思いつくようになりますか？
例
m を整数とする.
x2+3x+m=0が有理数解をもつならば, m は偶数であること
を示せ.
〔九州大〕
(2)x2+mx+7=0の解がすべて有理数となるmの値を求めよ.
〔岩手大〕
Pを
q
《解答》まず,整数係数の方程式 x2+ax+b=0が有理数解 α =
もつとする.ただしp, q は互いに素な整数で q > 0 とする.これを代入す
ると
a2+ax+b= 0 ..
(号)
( 2 )² + a. 2 + b
P
+ b = 0
q
P2
..
= -ap-bq
9
右辺は整数だから左辺も整数である. p, q は互いに素な整数でq>0だか
ら g = 1 となりα は整数である. これより (1)(2)の有理数解は整数解である.
(1) その整数解をnとおくと与式に代入して
n2+3n+m=0m=n2-n-2n=-n(n+1) -2n
n(n + 1) は連続する 2整数の積だから偶数である. よっては偶数である.
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分かりました！出来るようにします！ありがとうございました！