Question

かなかな

この問題で、往復する区間とその前までの区間で分けて面積を引くという方針で解答はやっているのですが、そうするとX1つに対しYの値が2つ出る部分があって、その区間ではYの値が1つに定まらないから面積は求められなくないですか？

252
重要 例題 160 媒介変数表示の曲線と面積 (2) 200000
媒介変数 t によって, x=2cost-cos2t,
y=2sint-sin2t (0≦t≦) と表される右図の曲線と
x軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
YA
76130
基本 16
CHART & SOLUTION
基本例題 156では,tの変化に伴ってxは常に増加したが,
この問題ではの変化が単調でないところがある。
y
12
右の図のように, t=0 のときの点をA, x座標が最大とな
S
る点を B (t=t で x 座標が最大値 x=x になるとする),C
t=πのときの点をCとする。
A
B
-3
0 1 A
I
この問題では点Bを境目としてxが増加から減少に変わり,
x軸方向について見たときに曲線が往復する区間がある。
したがって, 曲線 AB を y, 曲線 BC を とすると, 求め
る面積Sは
t=0
0-to
曲線が往復
している区間
S=Sdx-vidx
と表される。
よって、xの値の増減を調べ, x座標が最大となるときのtの値を求めてSの式を立てる。
また,定積分の計算は、置換積分法によりxの積分からtの積分に直して計算するとよい。
x203-
y=2sint-sin2t=2sint-2sintcost
図から,0≦t≦では常に
y≥0
また
=2sint(1-cost)
よって, y=0 とすると
sint=0 または cost=1
0≤t≤ 5 t=0, π
次に, x=2cost-cos 2t から
dx
=-2sint+2sin2t
dt
loga
nia)
inf strのとき
sint≧0, cost ≦1 から
y=2sint(1-cost)≧0
としても,y≧0 がわかる。
=-2sint+2(2sint cost)
L
30
=2sint(2cost-1)
0<t<πにおいて
dx = 0 とすると, sint>0で
dt
あるから
t
0
cost=-
ゆえに
t="
dx
+
よって、xの値の増減は右の表のようになる。
x
3
1

ゆえ,0≦tsにおけるyをyu,
を とすると,求める面積Sは
≧≦における画
y2
t=π
0
S=Syndx-S²vidx
ここで,0≦ts において,
x=1のとき t=0.x=2のときに?
であるから
ferde-st
= y-
00
また、Sにおいて,
S
y4
t=
3
|t=0
y₁
0
13x
2
31
S =
3
3
13
2
2
3
x=2のとき = 1/32 x=-3のときt=x
π
3'
であるからydx = Sayamat
3dx
-dt
dt
よって
S=S¾¸y2dx−S,³
dx
dt
00
S=S* dx-Sydx=Sydx dt-dx dt
dt+
dt
dx
-dt
= + Say dx dt = Sydr
dt
=S(2sint-sin2t)(-2sint+2sin2t)dt
=(-2sin2t+6sin2tsint-4sint)dt
[注意 y と yはxの式と
しては異なるから,
Styrdx-Styrdx=Sydx
としてはいけない。
一方, tの式としては同じ
y(=2sint-sin2t) で表さ
れる。
←
Sf(x)dx=-f(x)dx
Sf(x)dx+ff(x)dx
=Sof(x)dx
Sof(x)dx=-Sof(x)dx
6章
18
面
ここで
=2f (sin22t-3sin2tsint+2sint)dt
*1-cos 4t dt=[t-sin 4t|-
Sisin'stat=51-
Ssin 2t dt-1-cos 4t
2
3sin2tsintdt=32sintcost sintdt
=6"sin°tcostdt=6f sin't(sint) dt=6|3 sint] =0
<<<sin20=
1-cos 20
2
inf 積和の公式から
S3sin2t sintdt
積
3
2
So(cos3t-cost) dt
S2sin'tdt=2S.
-cos 2t
-dt=
2
1-11-12 sin2t] =
=π
sin
23
sin3t-sint]
=0
したがってS=2 (10)=3π
とてもよい。
2
Linf.
この例題の曲線は,カージオイドの一部分である (p.153 まとめ参照)。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

いえ、1つに定まらず2つ出るからこそ、
片方をy1、もう片方をy2としています

かなかな

でもYの式は1つしかなくないですか、
解答を見た感じ最終的に同じ式になっているのですが

和

立式自体は素直だと思います
（いつも通り上-下を定積分）

tの値によって、yはy1とy2に分かれます
tの式としてはyは同じですが、
tの範囲が異なります

※最初の回答の図で、tの値が逆でした
すみません

かなかな

いえ、すみません。ありがとうございます