Question

れもん

(2)の赤線についてです。
最初からy=sin2θなのに、「y=sin2θと置換する」のようになるのはなぜですか？🙏
お願いいたします🙇🏻‍♀️

121 回転体の体積 (VI)
媒介変数を用いて, r=sin0, y=sin20
(0≤0≤2)
と表される曲
線Cについて 次の問いに答えよ
(1) Cの概形をかけ.
(2)Cy0 の部分をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積
Vを求めよ.
精講
(1)媒介変数を用いてx, y が表されていますが, 64
によれ
「y=(xの式)」の形にできるのであれば, 媒介変数のまま微分
する必要はありません。
(2)関数が媒介変数を用いて表されていても,軸まわりの回転体の体積の公
式は1つしかありません。
すなわち xfy'dx です。
解答
(1)y=2sincost において, sin0=x とおくと
cos0=√1-sin20=√1-2 (cos≧0より)
y=2x√1-x² (0≤x≤1)
0≦x<1のとき
y'=2√1−x²+2x•—(1−x²)¯½·(−2x)
82(1) 注 参照
=2√1-1-
x²
2(1-2x2)
√1-x2
y'=0 を解くと
x=
√2
(0≦x<1より)
y"=2・
1-x2
2x(2x2-3)
(1-x²)√1-x20
IC

limy'=-8
x→1-0
ると
よって,上に凸で,増減は下表のようになる.
したがって, 求めるグラフは右図のようになる.
1
IC 0
√2
1
立て
y'
+
0
y
0
1 V 0
(2) V=ñ√˜y²dx=4ñ√x²(1-x²) dx
1
A
12
√2
1C
1
8π
=4π
3 5
(別解) 媒介変数のままVを求めると, 次のようになります.
0≤x≤1 th³5, V=rf'y² dx
y=sin 20 と置換すると, x=sin0 より
π
dx
x:0→1のとき, 0:0→
また,
= cos o
2
de
::
V=Asin220・cos0d0=4f sinocosodo
=4x*sin²0(1-sin²0)(sino)' de
91
8π
=47 11/3 sin0-1/3 sino=4r(11/3)=9/57
=4π
=4π

積分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

質問の意図がよくわかりませんが、
問題文にy=sin2θとあるので
そのようにおいています

れもん

回答ありがとうございます🙇🏻‍♀️
置換するというのは、一旦本来のものと違う文字で置くということだと思っていたのですが、本来がy=sin2θなので気になりました🙏

和

yをyでないものにするのが置換です

イコールだからこそ置換できます
普段は何に置き換えるか明示されていませんが、
今回はされているだけです
y=sin2θだから、yをsin2θにします

れもん

理解出来ました！ありがとうございます🙇🏻‍♀️