Question

高校生

紫のマーカーが何を表すのかが分からないです。

19:45 9月29日 (月)
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2024_10月_Z3.pdf
Z3
数列の極限 (40点)
@
1
a₁ =
an+1=
guess (n=1,2,3,………)によって定められる数列{a}がある。
4an+
2+1
また,bm=2"an (n=1,2,3,.....) によって定められる数列{bm}がある。
(1)b の値を求めよ。 また, bw+1 をb" を用いて表せ。
(2) bm n を用いて表せ。 また, limb を求めよ。
(3) 座標平面上に次のように点をとる。
Ai(bi, ai),
A2(b2, α2), ......, An(b, a),
An+1 (bu+1, an+1),
Bi(b1, 0), B2(62, 0), ......, B (6,0),
△Am Bm Am+1 の面積を S,(n = 1, 2, 3, ……… とするとき,無限級数 S の和を
求めよ。
配点 (1) 8点 (2) 14点 (3) 18点
解答
(1)
b1=2a1=2.12 = 1
bu
bn+1
b=2"an より, an=
an+1=
を an+1=
+
2"+1
=1/2ant20に代入す
ると
bn+1 1.bm 1
=
・+
2+1 42" 2+1
両辺に 2+1 をかけて
bn+1= =b+1
b₁ +1
(2)
解法の糸口
圈 b1 = 1,bw+1=b+1
= b + 1
93%
☑
{bm} の漸化式は次のようにして求
めてもよい。
1
an+1=
4an+
1
21 の両辺に 2月+1
をかけて
21.2*+1
bn=2"an より
=
12/26+1
数列{bm} の漸化式が bu+1= sbu+t (s, tは定数, s≠1) で与えられるとき, 漸化式を bu+1-α=s(bu-a) (a
は定数)と変形することができる。 したがって, 数列{bm-α} は初項b-α, 公比s の等比数列であり,このαは,
a = sα+t を満たす。 これらを踏まえて, bu をn を用いて表す。 また後半は, 求めたb を用いて limb を求める。
bu+1=12bu+1 を変形すると
8
bm+1-2=
-2)
よって, 数列{bm-2} は初項がb-2=1-2=-1,公比が1/2の等比数列
であるから
a=12α+1 を解くとα=2
n-1
bm-2=(-1)
−1)(1)
71

19:44 9月29日 (月)
(3)
b.=2-()
\n-1
-1
*, lim()" = 0 であるから
limb=lim
解法の糸口
無限等比数列の極限
rを実数とするとき
=2-0=2
[0 (-1<r<1)
圈 bm=2- -(2)"', limbn=2
r-1
limr"= 1 (r=1)
11-00
(∞ (r>1)
r≤ −1 のとき limr" は存在しない。
→∞
△ABA+1の面積Sをan, bu, bn+1 を用いて表す。 さらに, (2)の結果より, Sm をnを用いて表し,無限等
比級数の和の公式を用いる。
(2)より
bu+1-bw=2- -(12)^{2-(1/2)"}}
=('/''-'*
-(1-4)(4)
△ABA+1 を図示するために
bu, bu+1 の大小関係, αの符号を調
べる。 なお, An, An+1 の y 座標の
大小 (an, an+1の大小) は三角形の
面積に関係しない。
よって
=(1/2)">0
1 = b₁ < b₂ < ……………<b<bn+1< ******
さらに
an=
・>0
2
であるから, A B A +1 は次の図のようになる。
n-1
(2)"' が単調に減少するから
bm=2-(2)"' は単調に増加する
と考えてもよい。
y
An
an
An+1
0
BR
bn
bn+1 x
==
S.-ab-b)
16
=(-b)
=
22"
({})
=(1/2)-(1)=(1)-(1)^
したがって
2s.={(+)-(+)}
-72-
93%

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

傍注の通り、anの正負を調べています