Question

さな

（2）でなぜ点Mは直線②上にあるのですか？

および長
463 基本事項
る解法も考
を消去して
①
Q (x2,y2)
4\x2-x1
例題 153
基本例
十点の軌跡
|双曲線x-2y2=4と直線 y=-x+k が異なる2点P, Qで交わるとき
<(1) 定数kのとりうる値の範囲を求めよ。
((2)
(1)の範囲でk を動かしたとき, 線分PQの中点Mの軌跡を求めよ。
指針
基本 151 152
(1) ①共有点実数解 双曲線と直線の方程式から導かれるxの2次方程式が
異なる2つの実数解をもつ条件、つまり判別式D>0 からkの値の範囲を求める。
(2)2点P,Qのx座標をx1, x2 とすると,1,2は(1)の2次方程式の実数解である。
M(x, y) とすると x=
x1+x2
, y=-x+k
2
←点Mは直線y=-x+k上。
解と係数の関係を用いて x+x2をkの式で表し, つなぎの文字を消去するこ
とによりx,yの関係式を導く。
なお、(1)の結果により, xの範囲に制限がつくことに注意。
...(+5)
CHART 弦の中点の軌跡 解と係数の関係が効く
x2-2y2=4
......
①, y=-x+k
1
x
解答 ②①に代入して整理すると
ard
② とする。
x2-4kx+2k2+4=0
③
(1) 2次方程式 ③の判別式をDとすると
467
ここで1241=(-2k)-1-(24)=2(-2)
P
2
M
2
0
よって, k-2>0 から (k+√2-√2)
したがって k<-√2, √2<k
(2)PQのx座標を x1, X2 とすると, これは
2次方程式 ③の解であるから,解と係数の関係
①
(8+0)=(($0)
の方針。
複雑なと
一関係の利
連立方程
に解くと
+
0
より
x+x2=4k
M (x, y) とすると
x=
このとき
x+x24k
2
y=-x+k=-2k+k=-k
②
=2k
=
2
に代入して
Je....
④
......
点は直線② 上にある。
これは=0のときも成り
でありx
=219
④ ⑤から消去すると
y=-- 2
PD
2
点の座標
また,(1)の結果と④ から x <-2√22√2 x *
よって, 求める軌跡は
k=1から
[[]
2
もできる。
直線 y=-2
x2√2,2√2 <xの部分
(*) この条件を落とさない
ように。
風のせ方占をもつとキ

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

P,Qは直線②上にあります
P,Qの中点がMです
つまりP,M,Qは1直線上に乗っています
その直線はもちろん②です

さな

ありがとうございます！