数学
高校生
解法1は解けましたが、解法2と解法3が分からないのでどうやって解くのか教えてほしいです。
それぞれの短所と長所も教えてください。
a b は実数とする。 3次方程式 x3 +ax+b= 0 が 1 + 2i を解にもつとき, 定数a,
bの値を求めよ。 また, 他の解を求めよ。
(教科書 p.61 応用例題3)
この問題には3通りの解法がある。 それぞれの解法について、 長所と短所を考える。
*まず,教科書と同じ解法 (与えられた解を方程式に代入する) で解いてみよう!
解法 1
1 +2i が解であるから x+ax+b=0にx=1+2i を代入すると
a+gav
(1+2i)3+α(1+2i)+6=0
整理して
a+b-11
+
2a-2 i=0
a,bは実数であるから, a+b-1
20-2
は数である。
よって
a+b-11
これを解くと
0
20-2
=
0
a=
b=
"
10
このとき, 方程式は
x3+x+
10 =0
左辺を因数分解すると(x+2)(x-2x+5=0
したがって
x=
-2
+ 2
2
説明 (A)
一般に, 係数が実数であるn 次方程式の解の1つが虚数 a + bi ならば,
それと共役な複素数 α- bi もこの方程式の解である。
*このことを利用して問題を解いてみよう!
解法 2
1 + 2i と共役な複素数 1-2
1-2も、この方程式の解となる。
(1+2i) + 1-20
= 2
,(1+2i) x
1-20
=
5
よって, 1±2i を解とする2次方程式の1つは
-2x+5=0
したがって, 残りの解を とすると
r2+ax+b=(x-c)(x2-2x+5
右辺を展開して整理すると
右辺 =x3
-
-C-2x2+
左辺と係数を比較して α =
よって他の解は x=
20+5
x-
5c
C=
説明(B)
3次方程式の解と係数の関係
3次方程式 ax+bx+cx+d=0 の3つの解をα, β, r とすると
b
a+B+7= = 0, aß + By +α==, aẞy=-
aßr
a
※ギリシャ文字でα(アルファ), β (ベータ), r (ガンマ) と読む
*説明 (A) (B)の内容を用いて, 解いてみよう!
解法3
d
a
1 + 2i と共役な複素数
も、この方程式の解となる。
残りの解をαとすると,3次方程式の解と係数の関係から
(1+2i) + (1-2i)+α=
(1+2i)(1-2i) + (1-2i)a+α(1+2i)=
(1+2i)(1-2i)a=
これを解いて
a =
a =
b =
回答
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解法2•••個人的には共役複素数の考えを簡潔に利用できていて一番好ましいと思います
解法3•••三次方程式の解と係数の関係を理解していないといけないので少し面倒