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まず、三角関数を合成。
√(3²＋4²)＝5 より
3sinx＋4cosx
＝(1／5){sinx(3／5)＋cosx(4／5)}
＝(1／5)sin(x＋α) ただし sinα＝4／5，cosα＝3／5
よって
与式＝∫dx／(3sinx＋4cosx)
＝(1／5)∫1／sin(x＋α)・dx
＝(1／5)∫{sin(x＋α)／sin²(x＋α)}dx
＝(1／5)∫〔sin(x＋α)／{1－cos²(x＋α)}〕dx
ここで、cos(x＋α)＝t とおくと
→ －sin(x＋α)＝dt/dx
→ sin(x＋α)dx＝－dt
ゆえに
与式＝(1／5)∫1／(t²－1)・dt
＝(1／5)∫1／{(t－1)(t＋1)}・dt
＝(1／10)∫〔{1／(t－1)}－{1／(t＋1)}〕・dt
＝(1／10)(log|t－1|－log|t＋1|)＋Ｃ
＝(1／10)log|(t－1)／(t＋1)|＋Ｃ
＝(1／10)log|{cos(x＋α)－1}／{cos(x＋α)＋1}|＋Ｃ
ここで、cos(x＋α)
＝cosxcosα－sinxsinα
＝cosx(3／5)－sinx(4／5)
＝(1／5)(3cosx－4sinx)
したがって
与式＝(1／10)log|(3cosx－4sinx－5)／(3cosx－4sinx＋5)|＋Ｃ
