Question

かなかな

この問題はなぜ高さを2tとするとうまく行くのでしょうか。他の半径とかじゃダメなんですか？

0000
値を求めよ。
283 基本事項 3
295
調べて、最
文章題の解法
CHART & SOLUTION
い点に注意。
で書く。
基本 例題 187 最大・最小の文章題(微分利用)
80000の
半径6の球に内接する直円柱の体積の最大値を求めよ。 また, そのときの直
円柱の高さを求めよ。
基本186
MONTUJO ATMAH
三
半径は62-1
面積はπ(√62-122(36-12)
最大・最小を求めたい量を式で表しやすいように変数を選ぶ目
直円柱の高さを、 例えば 2t とすると計算がスムーズになる。
変数 tのとりうる値の範囲を求めておくことも忘れずに。
このとき, 直円柱の底面の
したがって, 直円柱の体積はtの3次関数となる。
変数のおき
exfa
2
ロ
+xala+xnia-xnial-=
解答
調。 端を含ま
む区間である
直円柱の高さを 2 とすると
直円柱の底面の半径は
0<t<6&& $>x20
62-120]
三平方の定理から。
は最大値、最
生しないこと
3
y=π(√36-12)2.2t
ここで,直円柱の体積をyとすると
=z(36-t2)・2t=2z (36)ける場
( 直円柱の体積)
=(底面積)×(高さ)
A--IS-IS+
y を tで微分すると
---6--
■値について
y'=2z(36-3t2)=-6π(2-12)
記入する。
=-6(t+2√3) (t-2√3)
大値 と
改。
-値-3と端
な。
0<t<6 において, y'=0 となるの
はt=2√3 のときである。
ではな
よって, 0<t<6 におけるy
の増減表は右のようになる。
ゆえに, yt=2√3 で極
大かつ最大となり,その値は
2{36.2√3-(2√3)}=2.2√3(36-12)=963
また,このとき, 直円柱の高さは
したがって 最大値 96√3
t
0
y'
...
+
2√3
0
6章
をy' で表す。
62-
dt
21
もしとな
...
6
定義域は 0<t<6 であ
関数の値の変化
> 極大 >
y
るから,増減表の左端,
右端のyは空欄にして
おく。
←t=2√3 のとき
√62-12=2√6
2.2√3 =4√3
高さ 4√3
よって、 直円柱の高さと
底面の直径との比は
4√3:4√6=1:√2
大学
る最大
x55)
PRACTICE 1879
YA
9
C
曲線 y=9-x2 とx軸との交点をA, B とし, 線分AB と
この曲線で囲まれた部分に図のように台形ABCD を内接
させるとき,この台形の面積の最大値を求めよ。 また、 そ
のときの点Cの座標を求めよ。
D
881
A 0
B x
10/30

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

AZ

別にtと置いてもいいですが、そうなると計算途中で分数が出てきます。
計算をある程度楽にするために2tと置いたんでしょう。

AZ

もちろん半径をtとおいてもいいです。
ただ、この場合yの式が複雑になって積分計算が面倒になります。

かなかな

計算が煩雑にならないような文字の置き方の見分け方とかってありますか？

AZ

円柱の体積Vは半径rと高さhを用いて
V=πr²hと書けますね。
置き換えによってVをtの関数で表したいときはできるだけtの次数が分数にならないようにすると計算が楽になります。
もしrがtの1次式であればr²はtの2次関数、hは√(36-t²)になる一方、解説のようにhがtの1次式であればr²はtの2次式になります。

かなかな

計算しやすいように文字を置くということですか？