Question

絶対合格

すみません。ここの解説をもっと簡単にできないでしょうか？
解説を見ても分かりません。

問題 5-9
225との最大公約数が15となる2017 以下の自然数の個数を求めよ。
方針
ほんの数に付け、
nと225の最大公約数が15なので
n=15k
(九大)
の形です。ここで, 225 32.52 なので,kが3の倍数もしくは5の倍
数のときは, nと225の最大公約数が15より大きい数になってしまう
ので不適です。 したがって, kは3の倍数でも5の倍数でもない自然数
である必要があります。 そのようなんで,
nm 2017
となるものの個数を数えます。

問題 5-9 の解答
225 = 32.52
であるから, 225 との最大公約数が15となる自然数nは
n = 15k
と表される(kは3の倍数でも5の倍数でもない自然数)。
まりと15は互いにな
nは 2017以下であるから,
15k 2017
081
2017
k =
=
134....
15
よって, 134 以下の自然数kで3の倍数でも5の倍数でもないものの個
を求めればよい。← これは下の図のAUBの
ここで,
に薄な
U:1から134 までの自然数の集合
AUの要素のうち、3の倍数の集合
U-
B
B: Uの要素のうち5の倍数の集合
とおくと, n(U)=134であり、でなければなら
より
n(A)=44←3, 6, 9, 132の44個
n(B)=26← 5, 10, 15, ., 130の26個
a SI
ので、
GLAUB
n(A∩B)=815, 30, 45, 120の8個
p.260 も参照してください
n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B) p.14の公式
= 44 + 26 - 862
よって, 求める答は
n(AUB)=n(U)-n(AUB)
= 134-62
=72 (個)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

数学の成績が伸びるかは、
質問がいかに具体的にできるかにかかっています
なるべく具体的に言語化して聞いてください

nと225=3²×5²の最大公約数が15=3×5なので、
nは素因数3をちょうど1個、
5をちょうど1個もっています

もしもnのもつ素因数3が2個以上あると、
nも225も3²×(自然数)の形になります
nと225の最大公約数の素因数3が
2個以上になってしまい、矛盾します

同様に、nが素因数3をもたないとすると、
nと225の最大公約数は素因数3をもたなくなり、
矛盾します

よって、nのもつ素因数3はちょうど1個です
同様に考えて、素因数5も1個です

したがって
n=3×5×(3でも5でも割り切れない自然数k)
とおけます
n≦2017より
3×5×k≦2017
k≦134.…

k=1,2,3,…,134のうち、
3でも5でも割り切れないものの個数を
数えれば終わりです