Question

yee~

這題求詳解，完全沒想法，拜託了

設三次實係數多項式f(x)的最高次項係數為,已知在0≤x≤4的範圍中,f(x)的
最小值 3 發生在 2 =1,x-4兩處,另有一多項式G(x)=f(t)d,且G(x)在x=2
最小值-3發生在主!,
處有(相對)極值,則0≤x≤4的範圍中,G(x)最小值為

Answer 1

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qn

由於 G(x) = ∫₀ˣ f(t)dt ( G 是 f 的反導函數 )
兩邊微分可得 G'(x) = f(x) ( f 是 G 的導函數 )

因為 G(x) 在 x=2 有相對極值
所以 G'(2) = 0 = f(2)

另外，f(x) 在 x=1 有最小值
而且 x=1 不在邊界
所以 f'(1) = 0

總結關於 f(x) 的條件：
f(1) = -3
f(4) = -3
f(2) = 0
f'(1) = 0
大概可畫出簡圖(如圖)

從 f(1)=-3 , f'(1)=0 , f(4)=-3 可知
f(x) = a(x-1)²(x-4) - 3

代入 f(2)=0
⇒ a·1²·(-2) - 3 = 0
⇒ a = -3/2

故 f(x) = -3/2 (x-1)²(x-4) - 3
展開
f(x) = -3/2 x³ + 9x² - 27/2 x + 3
積分
G(x) = -3/8 x⁴ + 3 x³ - 27/4 x² + 3x |₀ˣ
= -3/8 x⁴ + 3 x³ - 27/4 x² + 3x

先看 G'(x)=0 的點
即 f(x)=0
⇒ -3/2 x³ + 9x² - 27/2 x + 3= 0
⇒ x³ - 6x² + 9x - 2 = 0
⇒ (x-2)(x²-4x+1) = 0
⇒ x=2 或 x²-4x+1=0
⇒ x=2 或 x= 2±√3
(由圖易知 G(2±√3) > 0 > G(2) )
( G(2±√3) 是極大值；G(2) 是極小值 )

另外再看邊界的點
G(0) = 0
G(4) = 0

因此最小值就是 G(2)
G(2) = -3

yee~

謝謝 打那麼多字辛苦你了