Question

星光

次の様な問題があったら(1)の誘導？などがなかったら(2)は分母の方が明らかに増加していくのですぐに0とするのはいいんでしょうか？

(1)nが2以上の自然数であり, h0 のとき,二項定理を用いて不等式
思考プロセス
n(n-1)
(1+h)” >1+nh t
ーん が成り立つことを示せ。
2
(2)(1)の不等式を利用して, lim の値を求めよ。
n
n→∞ 3n
二項定理
0以上
(1) (1+h)*= nCo+nCih+nCzh+nCsh+ +Ch
n(n-1)
≧ 1 + nh +
-h2
2
(2) 3" 前問の結果の利用
||
n(n-1)
(1 + 2)^ ≧ 1+2n+
.
• 2ª ⇒ < — <[
2
n
Action>>>> (α > 1) の極限値は、はさみうちの原理を利用せよ
am
(1)n≧2,h> 0 であるから,二項定理により
(1+h)"=nCo+nih+nCzh+... +nCzh"
n(n-1) 2
-h² +
= 1+nh+
2.1
n(n-1)
≧1+nh+
-h²
2
+hn
* »Co = 1, »C = n
n(n-1)
3" = (1+2)"≧1+2n+4.
n(n-1)
2
n
n
よって 0<
3n
2n²+1
(2)n→∞ とするから, n≧2 で考える。 (1) より
nC2=
2.1
h> 0, nCr>0より
右辺の4項目以降の各項
はすべて正の数である。
h=2 とする。
3≧2n2 +1> 2n² を用
= = 2n²+1
いて
ここで, lim
n
2n+1
= 0 であるから, はさみうちの原
n
n
1
0 <
3r
2n2
2n
1
n
理より lim
であり lim
0 を用
= 0
1-00 2n
いてもよい。
Point はさみうちの原理の利用

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

n/3ⁿの極限を求めることが主題の問題なら、
誘導があろうがなかろうが、
この問題のような説明が必要です

他の主題があって、その解決のための手段として
n/3ⁿの極限を利用するのであれば、
すぐに0としてよいです
ただ、その場合は「n/3ⁿ→0としてよい」
のような文言があることが多いです

星光

理解できました！有り難う御座います！