Question

しまうま

127番の問題がわからないです！

ただ一つの解を持つ時に3と4に別れるのはyの値の積が0になる時を考えてるのかなと思ったのですが、なぜ126番の問題だとそれを考えなくても良いのかが全くわからないです

誰か教えて欲しいです！すみませんがよろしくお願いします🙇‍♂️

196
基本 例題 126 2次方程式の解と数の大小 (2)
00000
2次方程式 ax²-(a+1)x-a-3=0が, -1<x<0, 1 <x<2の範囲でそれぞれ
つの実数解をもつように,定数 αの値の範囲を定めよ。
重要 12
p.191 基本事項
指針 f(x) =ax²-(a+1)x-a-3 (α≠0) としてグラ
[a>0]
フをイメージすると, 問題の条件を満たすには
y=f(x) のグラフが右の図のようになればよい。
すなわち f(-1) f (0) 異符号
la<0
y=f(x)
e
0 1
+
0
2x
[f(-1)(0) <0]
y=f(x)
かつ f(1) f (2) が異符号
[f(1)(2)<0]
である。 αの連立不等式を解く。
CHART 解の存在範囲 f(p)f(g) <0ならpgの間に解 (交点)あり
解答
f(x)=ax2-(a+1)x-a-3とする。 ただし, a≠0
題意を満たすための条件は, 放物線y=f(x) が-1 <x<0,
1 <x<2の範囲でそれぞれx軸と1点で交わることである。
すなわち
ここで
f(-1)f(0)<0
f(1)f(2)<0
f(-1)=α(−1)-(a+1) (−1)-a-3=a-2,
f(0)=-a-3,
f(1)=α12-(a+1) ・1-a-3=-a-4,
f(2)=α・22-(a+1) ・2-a-3=a-5
f(-1)f(0) <0から
ゆえに
よって
(a-2)(-a-3)<0
(a+3)(a-2)>0
また,f(1)(2)< 0 から
a<-3, 2<a
......
①
2次方程式であるから、
(x2の係数) 0 に注意
注意指針のグラフからむ
るように,a>0 グラフ
に凸), a<0(グラブ
凸) いずれの場合も
F(-1)/(0) <0
f(1)(2)<
が、題意を満たす条件で
よって、a>0のとき
のときなどと場合分け
て進める必要はない。
ゆえに
よって
(-a-4)(a-5)<0
(a+4)(a-5)>0
a<-4, 5<a...
① ② の共通範囲を求めて
a<-4,5<a
これはα=0を満たす。
-4-3
2
5

重安例
(3)
197
0000
方程式x+ (2-a)x+4-2a=0が-1<x<1の範囲に少なくとも1つの実数解
をもつような定数αの値の範囲を求めよ。
[針 [A] -1<x<1の範囲に, 2つの解をもつ (重解を含む)
[B]-1<x<1の範囲に、ただ1つの解をもつ
A
基本 125 126
ような場合が考えられる。 [B] の場合は、解答の[2]~[4] のように分けて考える。
例題125,126 同様,D,軸,f(k) が注目点である。
解答
判別式をDとし,f(x)=x2+(2-a)x+4-2aとする。
f(-1)=-a+3,f(1)=-3a+7
[1]
2つの解がともに -1<x<1の範囲にあるための条件は
(D=(2-a)²-4-1 (4-2a)≥0 ①
3章
13
73
2次不等式
軸x=-
2-a
2
2-a
について -1<-
<1
②
D>O
+
+
x
2
lf(-1)=-a+3> 0
(3)
① から a+4a-12≧0
よって
ゆえに a≦-6, 2≦a..
...
(5)
f(1)=-3a+7>0
(a-2)(a+6)≥0
②~④を解くと, 解は順に
(4)
[2]
また
7
0<a<4
⑥, a<3
⑦, a<-
(8)
っか
下
⑤~⑧の共通範囲は 2≦a<
7
[3] a=3
[4] a=
―に
解の1つが-1 <x<1, 他の解が x <-1または1<xにあ
ある。
20
解の1つがx=1のときは
るための条件はf(-1)(1)<0. (-a+3)(-3a+7) < 0 |
(a-3)(3a-7)<0
解の1つがx=1のときは
ゆえに
7
3
<a<3
f(-1)=0
このとき、方程式は x2-x-2=0
ゆえに
a=3
(x+1)(x-2)=0
よって、他の解はx=2となり, 条件を満たさない。
..
-a+3=0
x
-1
2
-1
⑤
-6
0
2734
3
a
f(1)=0
2)
[4]
[1][2]-
って
7
-3a+7=0
~[4]から2
よって、他の解は x=-
このとき、方程式は 3x2-x-2=0 ∴ (x-1)(x+2)=0
ゆえに
a=
3
2
7
3
a
3
[1] [2] で求めたαの値の範
2
となり、条件を満たす。
と [4] で求めたαの値を
合わせたものが答え。
2≦a<3

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ℝ𝕦𝕟𝕒ෆ‪‪⸝⸝꙳

126番の場合-1<x<0、1<x<2で「1つずつ」実数解が無いといけないんです.ᐟ.ᐟだから、解のうち1つでもx=-1,0,1,2だったらその時点でアウトです。残り1つがどんなに頑張っても、範囲内に「1つずつ」解を持つことはありません。だから、わざわざ代入して考える必要は無いです。どうせアウトなので。
それに対して127番では、「少なくとも1つが」範囲内にあれば良いんです。だから、解のうち1つがx=±1になっちゃっても、もう1つの解が頑張ってくれれば、まだ条件を満たすチャンスはあります。だから[3][4]では実際に代入して、「もう1つの解が-1<x<1だったりしないかな…」と期待を込めて実験しているというわけです。

2次方程式の解の問題では、2つとも範囲内にあるのか？それとも1つでいいのか？=は含むのか？など、問題文をよく読んで状況をしっかり理解してください🍀*゜

しまうま

わかりやすかったです！
すっきりしました！ありがとうございます‼️