Question

さくら

(2)の解説で、下線を引いている部分がよくわかりません💦その上の行までの解説は分かるのですが、どのようにしてkp+2をpで割ってその余りが2だと分かるのですか？またなぜp=2の場合とp≧3の場合分けだけで大丈夫なのかも分からないので教えてほしいです🙇🏻‍♀️🙇🏻‍♀️

(1)より,素数』に対し,rが整数で1≦x≦p-1 のと
き, Cr はかの倍数である.
したがって, Ci+pC2+... + Cp-1はかの倍数とな
るから,これをkp (kは整数) とおくと,
2P=kp+pCo+pCp=kp+1+1=kp+2
したがって,≧3 のとき,2をかで割った余りは、
2
また,p=2のとき,222 より 2” をpで割った余
りは、
よって、2』をで割った余りは,
p=2 のとき, 0
p≧3 のとき,2

5
(1) 素数と 1≦x≦p-1 なる整数に対して, 等式 rpCr=pe-Cr-」 を証明し, C, は
の倍数であることを示せ.
(2) 素数に対して2
(a+b)"=mCoa+nCan-16+nCzan-262+......
ただし,
で割った余りを求めよ.
+nCra"-"b"+..+C-1461+"Cab"
であることを用いてもよい.
p!
p.(p−1)!
(1) rpCr=r.
n!
=r
r!(p-r)!
r.(n-1)!{(-1)-(n-1)}!
InCr=
r!(n-r)!
(p-1)!
=pr-1)!{(p-1)-(r-1)}!
-=pp-1Cr-1
よって, rpCr=Dp-1 Cr-」 は成り立つ.
また, rpCr=pp-1 Cr-1 において, Cr, p-1Cr-」は整
数である.
は素数で,r は 1≦x≦p-1 を満たす整数であるか
ら,とは互いに素である.
よって, Cr はかの倍数である.
(2) 2=(1+1)
=pCo・1P+pC・10-1・1+C2・1-2.1+......
・・・... C-1.1.1 -1 +pC,1'
=pCo+pCi+pC2+....+pp-1+pCp
与えられた関係式において、
n=p.a=b=1 を代入

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Mackarel

難しく考えすぎですよ！
単純に 2^p = kp + 2 だから 2^p/p の余りは 2 です。ただ p が2だった場合は割り切れちゃうので p>=3 の条件を付けています。
aが正の整数のとき、5a+2 を a で割ると余りは 2 ですよね？ でも a = 1, 2 の場合は割り切れてしまうので余りは 0 です。これと全く同じです。

さくら

なるほど！そのように考えればよかったのですね！理解できました✨️ありがとうございます！