回答

✨ ベストアンサー ✨

(1)(2)ができているのがすばらしいです。
(3)は面倒ですね
自信ありませんが、計算してみました。

3つの解をα²、α³、βとしましょう
必ず1つは実数解で、残りの解は実数解か虚数解かわかりません
下の組合せのどれかです
「α²:実、α³:実、β:実」
「α²:実、α³:虚、β:虚」
「α²:虚、α³:実、β:虚」
「α²:虚、α³:虚、β:実」
また、係数が実数であれば虚数解は共役です
ーーーーー
◆「α²:実、α³:実、β:実」と仮定すると、
 α²=bα-1でαは虚数だからbα-1が実数になるのはb=0
 α³=(b²-1)α-bにb=0を代入すると-α(虚数)になるため、仮定と矛盾
 「α²:実、α³:実、β:実」この組合せの解はない

◆「α²:実、α³:虚、β:虚」と仮定すると、
 α²=bα-1でαは虚数だからbα-1が実数になるのはb=0
 α²=bα-1にb=0を代入するとα²=-1になり、α=±iが求まる
 α³=(b²-1)α-bにb=0を代入するとα³=-α=±i(+ーが逆)になる
 βはα³と共役なので、β=±i
 ⇒b=0のとき、3つの解のは(-1,i,-i)

◆「α²:虚、α³:実、β:虚」と仮定すると、
 α³=(b²-1)α-bでαは虚数解だから(b²-1)α-bが実数になるのはb²=1
 b=±1より、α³=±1
  (α-1)(α²+α+1)=0、(α+1)(α²-α+1)=0
  αは虚数なので、(-1±√3i)/2、(1±√3i)/2
 ⇒b=±1のとき、3つの解の1例は(1、i、-i)

◆「α²:虚、α³:虚、β:実」と仮定すると、
 虚数解は共役であるから、α²+α³、α²・α³は実数である
 α²+α³=bα-1+(b²-1)α-b=(b²+b-1)α-b-1・・・(b²+b-1)=0
 α²・α³=(bα-1){(b²-1)α-b)=1 (b²+b-1=0を用いた)
  b²+b-1=0を用いると、α²・α³は実数になる
 b=(-1±√5)/2 これは-2<b<2を満たす
 このとき、β(実数)はなんでもよい。
 ⇒b=(-1±√5)/2のとき、3つの解は…省略

bの値は、0、±1、(-1±√5)/2
(複素数平面の偏角では、θ=π/2、±π/6、±2π/5)

絶対合格

返信遅れてすいません😭
すごくわかりやすいです、虚数の使い方がよくわかってなかったので勉強になりました。!
(ちなみに、⑴の問題付箋で隠れちゃってるんですけど0<b<2です、すいません😭)

(II)と、係数が実数という点から、解のうち二つは共役な複素数というのを気づけたらよかったってことですね!!

もう一度解いてみます!丁寧に解説していただいて本当にありがとうございます!!

GDO

b>0は問題文に書いてありましたね
そうすると、解答する文字量も少なくて、スッキリしますね

絶対合格

ほんとうにありがとうございます😭

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回答

α^2とα^3が共に虚数だとすると、解を4つ持つことになり矛盾します。なのでどちらかは実数となる必要があるのでbの値が決まります。あとは十分性を確認するだけです。

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(2)でα^2とα^3どちらとも虚数だとわかります
どちらも三次方程式の解なので、共役な複素数になるはずです
複素数平面まで勉強していればド・モアブルの定義からα^2とα^3はαの半径の2倍と3倍、偏角の2倍と3倍になるはずで、これが共役な複素数になるには半径1、偏角はsin2θ=-sin3θかつcos2θ=cos3θ(0≦θ<2π)を解けば出てきます
それを満たすようなbを求めるという流れで解く

これしか思いつきませんでした

にぇ

半径は2乗と3乗になります

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