✨ ベストアンサー ✨
(1)(2)ができているのがすばらしいです。
(3)は面倒ですね
自信ありませんが、計算してみました。
3つの解をα²、α³、βとしましょう
必ず１つは実数解で、残りの解は実数解か虚数解かわかりません
下の組合せのどれかです
「α²：実、α³：実、β：実」
「α²：実、α³：虚、β：虚」
「α²：虚、α³：実、β：虚」
「α²：虚、α³：虚、β：実」
また、係数が実数であれば虚数解は共役です
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◆「α²：実、α³：実、β：実」と仮定すると、
α²=bα-1でαは虚数だからbα-1が実数になるのはb=0
α³=(b²-1)α-bにb=0を代入すると-α(虚数)になるため、仮定と矛盾
「α²：実、α³：実、β：実」この組合せの解はない
◆「α²：実、α³：虚、β：虚」と仮定すると、
α²=bα-1でαは虚数だからbα-1が実数になるのはb=0
α²=bα-1にb=0を代入するとα²=-1になり、α=±iが求まる
α³=(b²-1)α-bにb=0を代入するとα³=-α=±i(＋ーが逆)になる
βはα³と共役なので、β=±i
⇒b=0のとき、3つの解のは(-1,i,-i)
◆「α²：虚、α³：実、β：虚」と仮定すると、
α³=(b²-1)α-bでαは虚数解だから(b²-1)α-bが実数になるのはb²=1
b=±1より、α³=±1
(α-1)(α²+α+1)=0、(α+1)(α²-α+1)=0
αは虚数なので、(-1±√3i)/2、(1±√3i)/2
⇒b=±1のとき、3つの解の1例は(1、i、-i)
◆「α²：虚、α³：虚、β：実」と仮定すると、
虚数解は共役であるから、α²+α³、α²・α³は実数である
α²+α³=bα-1+(b²-1)α-b=(b²+b-1)α-b-1・・・(b²+b-1)=0
α²・α³=(bα-1){(b²-1)α-b)=1 (b²+b-1=0を用いた)
b²+b-1=0を用いると、α²・α³は実数になる
b=(-1±√5)/2 これは-2<b<2を満たす
このとき、β(実数)はなんでもよい。
⇒b=(-1±√5)/2のとき、3つの解は…省略
bの値は、0、±1、(-1±√5)/2
(複素数平面の偏角では、θ=π/2、±π/6、±2π/5)
b>0は問題文に書いてありましたね
そうすると、解答する文字量も少なくて、スッキリしますね
ほんとうにありがとうございます😭
返信遅れてすいません😭
すごくわかりやすいです、虚数の使い方がよくわかってなかったので勉強になりました。！
（ちなみに、⑴の問題付箋で隠れちゃってるんですけど0<b<2です、すいません😭）
（II）と、係数が実数という点から、解のうち二つは共役な複素数というのを気づけたらよかったってことですね！！
もう一度解いてみます！丁寧に解説していただいて本当にありがとうございます！！