Question

ぽちゃこ

この問題がよく分かりません。
何が分からないのかもわかっていないレベルなので
詳しく教えていただけるとありがたいです。
大雑把な質問で申し訳ありませんがお願いします🙇‍♀️

83
数分解できる。
もち
次式×2次式
よ」とい
解すればよい。
の
指針
与式がx、yの1次式の積の形に因数分解できるということは、
(与式)=(ax+by+c)(px+y+z)
例題
47 因数分解ができるための条件
00000
x2+3xy+2y2-3x-5y+kがxyの1次式の積に因数分解できるとき、定数k
の値を求めよ。 また、 その場合に、この式を因数分解せよ。
[東京薬大]
基本46
を利用
=0
とおいて解く
の公式。
狐の前の2 (0)
解答
を忘れないよう
数の範囲の因数
ら
x=
-3(y-1)±√9(y-1)2-4(2y2-5y+k)
2
==3(y-1)±√y2+2y+9-4k
の形に表されるということである。 恒等式の性質を利用(検討参照) してもよいが、 こ
そこでは,与式を2次式とみたとき, = 0 とおいたxの2次方程式の解の1
次式でなければならないと考えて、その値を求めてみよう。
ポイントは、解がの1次式であれば、解の公式における内がりについての完
平方式(多項式)”の形の多項式] となることである。
P=x2+3xy+2y2-3x-5y+k とすると
P=x2+3(y-1)x+2y2-5y+k
P=0をxについての2次方程式と考えると、解の公式か
x”の係数が1であるか
ら,xについて整理した
方がらくである。
2
2章
解と係数の関係、解の存在範囲
e:
と
この1=12-(9-4k)=4k-8=0
ゆえに
k=2
4
里の因数分
_-3(x-1)+√(+1)
-3y+3±(y+1)
(y+1)^=ly+1|であ
=
による。
このとき x=
2
すなわち x=-y+2, -2y+1
ないよう
よってP={x-(-y+2)}{x-(-2y+1)}
=(x+y-2)(x+2y-1)
+x(1+28)るが、土がついているか
ら,y+1の符号で分け
る必要はない。
(p+4)=(0-
恒等式の性質の利用
検討
2
この2つの解をα, β と
すると, 複素数の範囲で
はP=(x-α)(x-β)
と因数分解される。
Pがx,yの1次式の積に因数分解できるためには,この
解がyの1次式で表されなければならない。
よって,根号内の式y2+2y+9-4kは完全平方式でなけれ 完全平方式
ばならないから, y2+2y+9-4k=0 の判別式をDとする
⇔=0が重解をもつ
⇔判別式 D=0
ると, 1
いない
(1)x2+xy-6y-x+7y+k
x2+3xy+2y2=(x+y)(x+2y) であるから,与式が x, yの1次式の積に因数分解できると
すると,(与式)=(x+y+a)(x+2y+b) ① と表される。
......
①は,xとyの恒等式であり, 右辺を展開して整理すると
(与式)=x2+3xy+2y2+(a+b)x+(2a+b)y+abとなるから, 両辺の係数を比較して
a+b=-3,2a+b=-5,ab=k これから,kの値が求められる。
い
歌の
8A
10-1-x+(8-x)(ローズ)
練習 次の2次式がx,yの1次式の積に因数分解できるように、定数kの値を定めよ。
③ 47 また,その場合に,この式を因数分解せよ。
(8-8) (2) 2x2-xy-3y²+5x-5y+k

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

三日

xとyの一次式の積とは、
(ax+by+c)(dx+ey+f)・・・＊
のような式です。
一方で、この式をxの二次式として捉えた時、
(x-α)(x-β)のように変形できそうですよね。
この考えをふまえて＊を見た時、
解はyの一次式にできそうです。
この方針で問題を解いています。

まず、解の公式を用いて解き、解はyの一次式になることが分かっているので、√の中の二次式は解答に書いてあるとおり完全平方式になるとわかります。
解の√の中が完全平方式になるということは、
√の中の二次式は(y-t)^2と表せるような重解を持つ方程式。
よって、判別式は0になるはず。
このように計算すると、kがでるので、改めて解が導出できる。
よって後は解をもとに
(x-α)(x-β)の形にします。

ぽちゃこ

ありがとうございます😭とても分かりやすく途中まで理解出来たのですがYの一次式になるには完全平方式にならないと行けないというとこがよく分かりません。
もし良ければ教えていただきたいです🙇‍♀️,,

三日

√の中は二次式になっていて、解全体が一次式になる、ということは、√(一次式)^2=(一次式)になってもらわないと困るということです。

ぽちゃこ

ご丁寧にありがとうございます！
もう一度解き直して考えてみます！