Question

れもん

なぜ両辺をxで微分するときに式にdy/dx をかけているのですか？🙇🏻‍♀️

2
例題7 方程式 +2
4
求めよ。
=1で定められるxの関数yについてを
2
解答
+
I
I
すると
.2
=1の両辺をxで微分
2x 2y dy
2x +
9 4 dx
よって, y≠0のとき
dy
dx
=
4x
9y
2+2=1
y
9
4
= :0
-3
0
-2
→
13x
I
曲

微分法 積分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

rain

先に回答している方がいらっしゃいますので、余計なお世話でしたらすみません。
まず、「xについて微分する」ということで、(x^2)/9と右辺の定数部分は問題なく微分できると思います。次に問題になるのは、(y^2)/4の微分だと思います。この項にはxが含まれていないので、特に気にせず微分しようとすると0になると思います。ただ、「定数」ではない「変数y」がいるため、そのままではダメだとわかります。そこで、微分命令を「xについて」ではなく「yについて」に変換して微分しようとする訳です。詳しくは添付画像をご覧下さい。

れもん

回答ありがとうございます！！！
d/dxやd/dyなどの分子がdになっているものは何を表しているのですか？🙏🏻
よろしくお願いします!!🙇🏻‍♀️

rain

質問ありがとうございます！
この分子の「d」を例えば「dy」とすると、「yを」という意味になると思いますが、単に「d」だけなので「この記号よりすぐ後ろの関数について」という意味で考えても良いです。また、添付画像のように考えて「何を何について微分か」を考えても良いと思います。ただ、この画像で勘違いしていただきたくないのは、dxを「d・x」のように外すことはできず、d{f(x)}というのは便宜上の表現でしかないことをご了承ください。
あと、よくd/dxやd/dyなどを単に「xについて微分」、「yについて微分」とも言います。

rain

見直して気づきましたが、最初の添付画像で誤りがありました。訂正したものを添付します。 申し訳ございません<(_ _)>

れもん

理解出来ました✨️ 助かりました🙏
分かりやすくありがとうございましたm(_ _)m！！！

Answer 2

AI 勉強お助け

この問題は、陰関数の微分という計算方法を使っています。

陰関数とは、y = f(x) のように変形できない関係式のことです。
今回の問題では、与えられた式をy = f(x) の形に変形できませんよね。
このような場合、両辺をxで微分するときにyをxの関数とみなして微分する必要があるので、dy/dx が出てきます。

dy/dx が出てくる理由を順を追って説明します。

●yをxの関数とみなす
与えられた式は、xとyの関係を表しています。
このとき、yはxの値によって決まるので、yはxの関数と考えることができます。

●y²の微分
y²をxで微分するとき、合成関数の微分という計算方法を使います。
合成関数の微分は、y²をyで微分したものと、yをxで微分したものを掛け合わせます。
つまり、y²をxで微分すると、2y × dy/dx となります。

●式全体の微分
与えられた式全体をxで微分すると、
2x/9 + 2y/4 × dy/dx = 0
となります。

●dy/dx について解く
この式をdy/dx について解くと、
dy/dx = -4x/9y
となります。

このように、陰関数の微分では、yをxの関数とみなして微分するため、dy/dx が出てきます。

れもん

理解出来ました✨️ありがとうございます🙇🏻‍♀️！！