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(a)と(b)は省略出来ないのでしょうか?
→ (a)that(関係代名詞・主格)は省略できませんが、(b)that(関係代名詞・目的格)は省略できます。
【理由】
(a) This is the movie.+Ken says it(代名詞・主格 S) is(V) just awesome(C).
= This is the movie <that(関係代名詞・主格 S) [Ken says](挿入表現) is(V) just awesome(C)>.
これは<ケンが本当にすごいと言っている>映画です。
(b) This is the key.+ My mother thought I(S) lost(V) it(代名詞・目的格=the key)(O).
= The key(S) <that(O1 関係代名詞・目的格:省略可) [my mother thought](挿入表現) I(S1) lost(V1)> were(V) in her bag.
<私がなくしたと母が思っていた>鍵は、母のバッグの中にありました。
※it(代名詞・目的格)をthat(関係代名詞・目的格)に変えて、上記の二つの英文を一つにまとめたのが問題文
参考にしてください。