Question

もずく

数A組み合わせの問題です。
20C3=1140までは分かるのですが、そのあとi~iiiを調べることでなぜ同一直線上の３点を選ぶ場合を求められるのかが分かりません。

よろしくお願いします🙇‍♀️

題 175 三角形の個数
右の図のように4本の平行線と5本の平行線
が等間隔で交わっている. これらの交点を結ん
三角形を作るとき,三角形はいくつできるか。
考え方 交点の数は全部で, 4×5=20 (個) ある.
ここから3点選んで三角形を作るが,
そのとき,三角形ができない3点の組合
せがあることに注意する.
解答 交点の数は,
4×5=20 (個)
このうち, 3点を選ぶ選び方は,
3組合せ 351
****
3点が一直線上に並
ぶと三角形はできな
い
の
4本の直線と5本の
直線の交点
20C3=
20・19・18
3.2.1
-=1140(通り)
a
ここで,
(i) 5 点がのる直線は 4本
(ii) 4点がのる直線は9本
(3点がのる直線は8本
BA
あり,これらの同一直線上から3点を選んだ場合には三角
形ができない.
同一直線上に3点以
上の点があることが
あるかどうか調べて
いく。
《注》 を参照)
(i) のときの3点の選び方は, 5C3×4=40 (通り)
(Ⅱ)のときの3点の選び方は, 4C3×9=36 (通り)
のときの3点の選び方は, 3C3×8=8 (通り)
よって, 求める総数は,
1140-(40+36+8)=1056 (個)
A.ルは人
第6章
注》もともとある直線以外にも3点が同一直線上に並ぶ場合があることに注意しよう.

数a 組み合わせ

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

ほとんどお分かりのような気もしますが…

この1140は、とりあえず3点選ぶ、
という組合せがすべて入っており、
そこには3点直線上に並んでいて三角形ができない、
という、本来数えるべきでないものが混じっているので、
それを引きます

ここでは、その直線上にちょうど何個点が並んでいるか、
でまず直線を分類しています
それが(i)(ii)(iii)で、これらは排反で被りなしです

たとえば(i)ちょうど5点並ぶ直線を1本選んだとき、
そこから3点選ぶ方法は5C3です
そして、「ちょうど5点並ぶ直線」は4本あります
どの直線にも5C3ずつ「3点の選び方」があるので、
(i)のパターンは5C3 × 4あります
これはこれで1140から引くべきものです

他、(ii)(iii)も同様に行います

ほぼ模範解答に書いてある通りになりましたが、
どうでしょうか？

もずく

「ちょうど5点並ぶ直線」というのがよく分からなかったのですが、よーく読んだら理解できました🙇‍♀️
回答ありがとうございます！！

もずく

すみません、やはり分からないところがありました、、
iiiは、どの直線を指しているのでしょうか？

和

注の下段4つの図の8本です

もずく

ありがとうございます！