Question

べんぎょょょーやばぁぁい

数IIの微分定積分の範囲です。（この問題は微分です。）
質問なのですが💦どう考えたらD【>，<など】0って分かるんですか??🧐めちゃくちゃ教えてほしいです🙇‍♀️お願いします🙏

36 次の条件に適するように, 定数αの値の範囲を, それぞれ定めよ。
1
(1) 関数 f(x) = 1/2x+ax²+(a+2)x+1 が極値をもつ。
(2) 関数 g(x) = x +ax²-3ax +2 が極値をもたない。
(1) f'(x)=x2+2ax+a+2
=4(a-2) (a+1)」 ok!!
D
=
4a² - 4a-8
=
4ca²-a-2)
」ok!!
条件はD
なので
a<-1,
2<a
(2) g'(x) = 3x²+2ax-3a
D = 4a²-4x-9 a
=4a²+36a
=4a(a +9)」 Okl!
条件はDOから
-9€ 0 ≤ 0
どう考えるの??

Answer 1

和

極値は、グラフの山（↗︎↘︎となるところ）の高さや
谷（↘︎↗︎となるところ）の高さです

3次関数のグラフが極値をもつとしたら、
↗︎↘︎↗︎の形か↘︎↗︎↘︎の形しかありません
（どちらも山1個、谷1個）

山や谷では、接線の傾きが一瞬0になります
つまり、f'(x)=0になります
言い換えると、f'(x)=0となるxに山や谷がある可能性があります

（山や谷以外にも、↗︎→↗︎のような形（これは極値でない）になる
かもしれないので、山や谷がある「可能性」です
正確には、山や谷があるのはf'(x)=0となるxで、
かつその前後でf'(x)の符号が変わるxです）

(1)では極値をもつ条件です
3次関数が極値をもつ
→山と谷が1個ずつ、計2個
→2次方程式f'(x)=0の実数解が2個
→2次方程式f'(x)=0の判別式D>0

(2)は極値をもたない
→山も谷もない
→2次方程式f'(x)=0の実数解がないか、あっても1個（重解）
→D≦0

※実数解が1個だけあっても、山や谷にはなりません
なぜなら、f'(x)=0となるxの前後で符号変化が起こらないからです

べんぎょょょーやばぁぁい

大体理解できました！もう一つだけ教えてほしいのですが、符号の下に＝が付く付かないは、重解の時だけ付くって感じなんでしょうか？？🙏

和

そうですね
2次方程式においては
重解をもつ⇔ 判別式D=0
です