Question

ちづ

写真のように解いたのですがこの値は間違っていますか？(1)一つ求めよなので答えは何通りかあるのかなと思いました。
(2)は (1)を用いました。

20★★
・解答 別冊 P.37
xy 平面上の点でx座標, y座標がともに整数である点を格子点という.a, kは
整数でα≧2とし, 直線L: ax + (a+1)y=kを考える.
(1) 直線L上の格子点を1つ求めよ.
(2)k = a(a+1) のとき, x>0,y>0の領域に直線L上の格子点は存在しな
いことを示せ.
7
(3)k>a(a+1) ならば, x>0y > 0 の領域に直線L上の格子点が存在する
ことを示せ.
(京都大)

20
9≥2
Lax+(a+1)y=k
y
a
(1)
y = - a²71
x +
k
971
L上で入が整数となる点
y=07"
ax=6
x=
X-a7" az π(a²+1) #k
Kが分数にならないように
(2)
a²+1-kase
k-a> o
k=a(a+1)
ax+ (a+1) y = k
X=
k-(a+1)
a
k-y-a
k(a+1) ka (a71) y
a
(k-y) (a+1)-ka²
a
a (k-1) (a71) - ka
you kna (P₁y) = (a+l-ka, k-a)
a²+1-ka = a²+/- ala²+1)a
=
a² + 1- a½-a²
#
1-a" a≥27" 1-a " <0 " " | X < OF "
x>0,40の領域に直線上の格子点はない。

20 不定方程式の解と格子点
考え方
(1)特殊解を見つけよということ.右辺のkに着目するとよい.
問題 本体 P.33
(2)解法はいろいろあるが,解答はax+by=cのタイプの不定方程式の解法の基本(第3
講)に従い,(1)で求めた特殊解を利用しよう.aと+1は互いに素であることが第1のポ
イントとなる.
(3) (2) を利用する.
解答
(1) y=k, x=-ka とおくと
右辺のkに着目しよう.
(左辺) =α(-ka)+(a2+1)k=k= (右辺)
であるから,直線L上の格子点の1つは
左辺にんを登場させるには
y=kとするのが最も簡明.
(x,y)=(-ka, k) 答
(2)(1)より
a(-ka)+(a+1)k = k
これとLの方程式 ax +(a+1)y=kの辺々を引いて
a(x+ka)=-(a+1)(y-k)
ここで,aa2+1が互いに素でないと仮定すると, 2以上
の公約数 dが存在し
a=dA, a2+1 = dB (A,Bは整数)
と書けるから
..
d'A' + 1 = dB
d(B-dA2)=1
B-dA' は整数で, dは2以上の整数なので上式は成り立たな
い. よって, a と α + 1 は互いに素である.
すると,①より, y-kはαの倍数なので
y-k=ma (mは整数)
と書けて,このとき,①より
x=-ka-m(a2+1)
x>0,y>0より
ka+m(a+1) < 0,k+ma > 0
a
ka
<m<
a²+1
不定方程式の解法の基本.
α と α +1 が互いに素であ
ることを, 背理法を用いて
証明する.
この評価式が (3) を解く
手がかりとなる.

格子点