数学
高校生
解決済み

この(2)の解答をみると色々積分したりしていますが自分は三次関数のグラフ対象性を使って解いたんですけどこれってngな解答ですか

自分の解答
三次関数の対象性から
α=2/3 + (2 - 2/3)/2 =4/3
β=α×2 = 8/3
よってy=kxは(α , 16/32)を通るのでk=4/9

E 2.は04を満たす定数とし,xy平面上の曲線 C:y=x(x-2)と直線l: y=kx で囲まれた2つの部分の面積が等しいとする。 このとき,以下の問に答え AO TRNA よ。 ただし、解答用 go=50.8 = 80 (1) 曲線Cのグラフを xy 平面上に図示せよ。 (2) 曲線 Cと直線 l の原点以外の2つの交点のx座標をα β とするとき, α, β, およびんの値を求めよ。 ただし, α < β とする。 (3) 曲線Cと直線lで囲まれた2つの部分の面積の和を求めよ。 関 = (x)1 308 > > (
よって, 曲線Cのグラフは右のようにな る。 (2) () x(x-2)2=kx x (x2-4x+4-k)=0 x=α, β はx-4x+4-k=0の2つの実数 解である。・・・・・① 部分の面積が等しいことから, 右図を参照 また, 曲線と直線で囲まれた2つの して So (x (x-2) 2-kx)dx =Sh (著)・・ = (kx-x (x-2)²) dx s 2 y y=x(x-2) 32 27 y=x ∫{x(x-2) -kex)dx+∫{(x (x-2)^- kx} dx = 0 SE Slx (x-2)2-kx}dx=0 B {x ar {x-4x2 + (4-k)x}dx=0 424-k 12-3 a 2 B % -x3+ 4 3 0 2 e B4 4 4-ks as a -B3+ -B2=0 43' ここで,①より 2 B2-4β+4-k=0 4-k=-B2+4B 2 S= 18 18/ 8SI (春)・ 18 これを②に代入して 面 B44 43 -B3+ - B² + 4B B² = 0 2 J ・実 2022- x²- T
156 2022年度 1 2 -B'+=B3 = 0 3 -3β1+8/3 = 0 -β3 (3β-8)=0 β≠0 より 8-3 B = 4 k= -4 +4= 9 また①より なることに 4 x²-4x+4- -=0 9 注意する 9x2-36x+32=0 (3x-8) (3x-4)=0 84 x= と変化 3'3 4 8 以上より a= B=0,k= 4 ( 3' 3' 9 DJ (3) 曲線Cと直線に囲まれた2つの部分の面積が等しいことから, 面 積の和は 2 dx=2 2√³ {x (x-2)² - 4 x} dx = 2√³ (x² - 4x² + 32x) dx = 2 = 4 4 2 x 16 x3+ 9 10 4/4)3 16 + 9 =2 /64 256 256 81 81 + 819 128 (答) 81 8 【解説 ≪3次関数のグラフと直線で囲まれた部分の面積

回答

✨ ベストアンサー ✨

共通テストなら素晴らしいと思いますが、3次関数の対称性を記述で使うのは微妙だと思います。そもそも変曲点や2階微分っていう言葉はたぶん数3でしか出てこないし、ちゃんと点対称なことを示すのは少し大変なので模範解答通りやるほうがいいと思います。

ブドウさんに勝手に便乗しますが、私もブドウさんに同意です

対称性を前提とするのは危険です
(採点基準によっては減点しない可能性もありますが)

ただ、点(4/3, 16/27)に関して対称であることを示せば
対称であることからいろいろなことをいってよいです
( f(4/3 -t) + f(4/3 +t) )/2 = 16/27を示します
この計算自体はそこまで面倒でもないです
また、範囲外でも正しい用語であれば使ってよいですし、
上の対称な点の出どころを示す必要はありません

しかし、私が思うに、今回の話の問題点は
対称性を前提としてよいか否か以上に、
「Lが面積を2等分」と「Lが変曲点を通る」が同値
としてよいか、のほうが怪しいです

変曲点を通れば面積は等しいでしょうが、
面積が等しいからといって
変曲点を通るかどうかはまだ不明です
つまり、
「Lが変曲点を通らないときに面積を2等分する場合」
はないことを論じなければなりません
これを感覚的にでなく量的に示すことこそ
面倒だと思います

ブドウくん

詳しい補足ありがとうございます。面積2等分と変曲点を通ることの同値性を示す必要がある、といわれて確かにそうだと思いました。僕自身も勉強になったし、より納得できる回答になったと思います、ありがとうございます。

i

ありがとうございます
参考にさせて頂きます!

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