Question

nix

加法定理の問題です。
画像の線を引いてあるところがわからないので、解説お願いしたいです。
よろしくお願いします。

第2問 (必答問題) (配点 15
太郎さんは、ボールをゴールに蹴り込むゲー
ムに参加した。
そのゲームは、 右の図1のように地点 0か
ら地点Dに向かって転がしたボールを線分
OD上の1点からゴールに向かって蹴り 地点
Aから地点Bまでの範囲にボールが飛び込んだ
とき,ゴールしたことにするというものであっ
B
3m
ル
ボールが転がされ、
ボールを蹴るライン
A
3mi
2m
0
9m
図1
た。 ただし, ボールは点とみなし, 大きさは考えないものとする。
そこで太郎さんは, どの位置から蹴るとゴールしやすいかを考えることにした。
地点を通り,直線ABに垂直な直線上に, AB // CD となるように点Cをとる。
さらに,太郎さんは, 0を原点とし、 座標軸を0からCの方向をx軸の正の方向、
OからBの方向をy軸の正の方向となるようにとり, 点Pの位置でボールを蹴るこ
とを図2のように座標平面上に表した。
B.
(5.0) B4
(2.0) A
0
図2
このとき 2点A, B の座標はA(0, 2), B(0, 5), ボールを蹴るラインを表す直
太郎さんは、最もゴールしやすいのは、 APBの大きさが最大になる地点Pであ
ると考えた。
「レーの
∠APBの大きさが最大となる点Pの座標を求めよう。
ア
イ
(0<x9) とし、 図2のように, 2直線AP, BP とx軸の正の
向きとのなす角をそれぞれα, βとする。
この
である。
クリー
x- ウ
x-
エオ
tana=
tanβ=
イ
イ 1x
<APB=a-B と表され、∠APBがらになることはないから,tan (e-β)を考え
ることができる。
カキx
tan (α-β)=
となり,
ケー コサx+ シス
常にクケコサx+
シス >0であるから, 0x9のとき, tan (α-β) > 0
である。
0
カキ
さらに, tan (β)=
と変形でき, 0<x≦9の範囲で
シス
タケ x+
コサ
x
シス
タケ x+
は最小値 センをとる
x
ア
線 OD の方程式はy=
x と表すことができる。
イ
(数学Ⅱ, 数学 B 数学C第2問は次ページに続く。)
(第3回-5)
以上のことから、点Pのx座標が タ のとき, ∠APBの大きさは最大である
ことがわかる。
(第3回-6)

|第2問 三角関数
ボールを蹴るラインを表す直線
ODは,原点を通り傾きが 1/3の直
y
15
線であるから,その方程式は
B
1
A
2
P(x, 1/2x) とし,右図のα,βに
O
対して, 直線 APの傾きは
x-2
x-6
tana=
A
x
3x
直線 BP の傾きは
1
x-5
3
tan β =
XC
x-15
3.x
A
α-βであるから,tan (α-β)を考えることができる。
すなわち
tan(α-β)=
tana-tanẞ
C
1+tan a tanẞ
x-6x-15
3x
3x
x-6x-15
1+
3x
3x
3x-9
9x2+(x-6)(x-15)
27x
10x2-21x+90
a
By=
P
3
数学化する力
ボールを蹴る位置について調べて
いる。 具体的な事例を数式で表す
ことができるかどうかを問うてい
ある。
B
A
図る
直線y=mx+nとx軸の正の向き
x
とのなす角を0とすると
B
tan 0=m
(1-6)
a-ß=
3=1のとき,tan (a-B) が定
義されないから、 この場合はないこ
との説明である。
a-β=
2
であるから
3=1 とすると,=B+4
tanatan (B+
= tan B
よって tantanβ = -1
x-6x-15
このとき
=-1
3x
3x
x2-21x+90=-9x2
10x-21x+90= 0 •••••• ①
①の判別式をDとすると
D=(-21)2-4-10-90
=212-40-90<0.
となり, ①は実数解をもたないから
不合理である。
よってα-B
ここで,常に
10x2-21x+90=10(x-2)+
3159
->0
40
[C]
加法定理
より0<x≦のとき, tan (α-β) > 0 であるから,<α-Bである。
tan (a+β)=
ここで
tana-tanẞ
tan (α-β)=
27
tan +tan B
1-tana tan B
1 +tanatan β
tan (α-β)=
KD
Point
90
10x+
-21
D
x
27x
の分母、分子をxで
90
10x21x+90
10x>0. ->0であるから, 相加平均と相乗平均の大小関係により
x
10x+ ≧2/10x.
90
x
90
10x+ ≥60
x
等号が成り立つのは
90
E
x
90
10x=-
より x2=9
x
割る。
TE
相加平均と相乗平均の大小関係
> 0b>0のとき
a+b
2
≥√ab
等号が成り立つのは, a = b のとき
である。
0<x≦より, x=3のときである。
90
よって, 10x +- の最小値は 60
x
(第3回-5)

Answer 1

sleedsk

Pからy軸に下ろした垂線の足をQとおきます。
tan(α)=tan(α-π)=tan(<APQ)=…
tan(β)=tan(β-π)=tan(<BPQ)=…