Question

デブ勉

この問題の解答の途中のbnへの置き換えは必須ですか？また必須じゃなければそれ以降のやり方を教えて欲しいです

答
=l, a1=3an+4nによって定められる数列{an}の一般項を求めよ。
00000
基本 34
p.464 基本例題 34 の漸化式 an+1=pan+g で、g が定数ではなく、nの1次式となっ
ている。このような場合は, n を消去するために 階差数列の利用を考える。
→
漸化式のn をn+1とおき, an+2 についての関係式を作る。これともとの漸化式
との差をとり、階差数列{an+1 - an} についての漸化式を処理する。
また、検討のように,等比数列の形に変形する方法もある。
CHART 漸化式an+1=pan+(nの1次式) 階差数列の利用
an+1=3an+4n
① とすると
an+2=3an+1+4(n+1)
② ①から
******
②
an+2-an+1=3(an+1-an)+4
an+1-an=bn とおくと
これを変形すると
また
bn+1=36+4
bn+1+2=3(bn+2)
b1+2=az-a1+2=7-1+2=8
よって, 数列{bn+2}は初項8, 公比3の等比数列で
bm+2=83-1 すなわち 6=831-2... (*)
n≧2のとき
n-1
an a1+ (8.3k-1-2)=1+
k=1
..
8(3n-1-1)
3-1
-2(n-1)
③
=4・3n-1-2n-1・
n=1のとき
4・3°-2・1-1=1=
a=1であるから,③はn=1のときも成り立つ。
したがって an=4・31-2n-1
(
<①のnn+1を代入す
差を作り, n を消去する。
<{6}は{az}の階差数列。
α=3α+4から α=-2
<a2=3a+4・1=7
In≧2のとき
n-1
an=a+bk
k=1
初項は特別扱い
(*) を導いた後, an+1-an=8•3"-1-2に①を代入してan を求めてもよい。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

必須ではありません
見た目にわかりやすいように置き換えています
慣れたら置き換えなくていいです

ただ、置き換えないまま、変形は同じように行います
aₙ₊₂-aₙ₊₁+2 = 3(aₙ₊₁-aₙ+2)とし、
{aₙ₊₁-aₙ+2}は初項8、公比3の等比数列で〜
と、同様に書くことになるので、
やることは同じです

デブ勉

ありがとうございます！