Question

女の子

数学の問題です！解説お願いします🙇‍♀️

kは1より大きい定数とする。 x, y を同時に0にならない実数とするとき、
(大原題)
k+2
2-k≤_x2+kxy+y2
S
x2+xy+x2 3
が成り立つことを示せ。 (学習院大)

微積

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

しし

不明点ありましたらご指摘ください

女の子

ありがとうございます！助かりました🙇‍♀️

Answer 2

GDO

xy=0(x,y片方が0)、xy≠0に分けるて考えるとよいです。
（k>1であるから、2-k<1、1<(k+2)/3）

・xy=0(x,y片方が0)のとき、
　(x²+kxy+y²)/(x²+xy+y²)=1なので、
　2-k<1=(x²+kxy+y²)/(x²+xy+y²)=1<(k+2)/3　･･･成り立つ

・xy≠0のとき、
　(x²+kxy+y²)/(x²+xy+y²)=1+(k-1)/(1+x/y+y/x) ･･･分母分子をxyで除算
　　ここで、x/y=tとして、x/y+y/x=t+1/tの動く範囲を考えると
　　t+1/t≦-2 または、2≦t+1/tであるから（グラフを書くと分かりやすい）、

　t+1/t≦-2の範囲では
　　1>1+(k-1)/(1+t+1/t)≧1+(k-1)/(1-2)=2-k （等号はx=-yのとき）
　　･･･成り立つ

　2≦t+1/tの範囲では
　　1<1+(k-1)/(1+t+1/t)≦1+(k-1)/(1+2) =(k+2)/3（等号はx=yのとき）
　　･･･成り立つ
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説明足りない部分あると思いますので、不明点ありましたらコメントください

女の子

いろんな解き方があって勉強になります！ありがとうございます🙇‍♀️