Question

いと

線形代数の問題です。
1次従属であることの示し方が分かりません。
示し方の分かる方どうかよろしくお願いします🙏

問題 150 V をK - ベクトル空間とし, π,1,... an ∈V
とする. æ∈L(a1,..., an) ならば æ, 1,... an はー
次従属であることを示せ.
$14

線形代数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

バンダースナッチ

L(a_1,...,a_n)の定義が分かりませんが、問題の構成上、おそらくそれ以外きっとないはずなのでL(a_1,...,a_n)を、ベクトルa_1,...,a_nが張るVの部分線形空間としますね

xがゼロベクトルであると仮定すれば、当然、cx+0a_1+……+0a_n=0(cはスカラー)という非自明な線型結合がありますから、一次従属になります

xがゼロベクトルでないとすれば、とくに、xのでどころから、a_1,...,a_nの線型結合でx=c_1a_1+…+c_na_n(c_iはスカラー)書かれますから、xを差っ引けば、ゼロベクトルを非自明な線型結合で表せることになり、これはまさに一次従属であることとなるわけです

いと

回答ありがとうございました！
質問なのですがxがゼロベクトルの時は後半の仮定と同様に考えることは出来ないのでしょうか?
場合分けせずに答えることは出来ないのでしょうか?

バンダースナッチ

それは可能で、では、よりストレートにやりましょう。xはa_1,...,a_nの線型結合によって得られるので、その結合をc_1a_1+…+c_na_nとすれば、0= c_1a_1+…+c_na_n-xは、xの係数が0でないから、これは明らかに非自明な線形関係式である。よってa_1,...,a_n,xは線形従属である。となります。

しかし、個人的にこれって何だかこなれている感があるなぁ、という感じがあり、初学者向けに0か否かで分けてみました。