Question

xoylm

第二問　(1)について
・・・(＊) までは理解できたのですが、
＇①に注意すると、1≦a<b≦4だから＇が分かりません。

※解説の方法以外で、より手早く解ける方法があれば、教えていただきたいです

第二問 次の問に答えよ。
双子
「自然数m, nが1≦m<n≦20を満たすとき,
√n+√m
の値が自然数になる
Vn-m
(m,n) の組み合わせは89 通りある。

二解答
(1)8) 9) 10
(2)10)11)12)13)504014)15)12
<解説>
<根号を含む式の値が整数となる条件, 同じものを含む順列>
(1) 自然数m, nが1≦m<n≦20 ･･････① を満たすとき

薬科大・推薦
ntvm_(vn+√m).
Jn-v
vm
n-m
の値が自然数になるためには
2021年度 数学 <解答> 33
n+m+2√nm
n-m
2
「nm が平方数すなわち整数の2乗の形であること」 ...... (*)
が必要である。
m
自然数を割り切る最大の平方数を とすれば
と表すことができる。 kは1または素数, あるいはいくつかの異なる素数
m=ak (a は自然数, kは1または平方数で割り切れない自然数)
の積であるから,(*)を考えるとnはn=62k(6は自然数)の形でなけ
ればならない。
①に注意すると 1≦a<b≦4だから
(a, b)=(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)
逆にこのとき②は
n+m+2√nm
n-m
b2k+a²k+2√a²b²k²
b²k-a²k
(b+a)²k
=
(b+a)(b-a)k
b+a
=
-b-a
となるから、これが整数となるためには
(a, b)=(1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 4)
でなければならない。
(a,b)=(1,2) のとき, n=4k≦20によりk=1,2,3,5だから
(m, n)=(k, 4k)=(1, 4), (2, 8), (3, 12), (5, 20)
(a,b)=(1,3) のとき, n=9k≦20によりk=1,2 だから
(m, n)=(k, 9k)=(1, 9), (2, 18)
(a,b)=(23) のとき, n=9k≦20 により k=1,2だから
(m, n)=(4k, 9k)=(4, 9), (8, 18)
(a,b)=(24) のとき, n=16k≦20によりk=1だから
(m,n)=(4k, 16k)=(4, 16)
(a,b)=(34) のとき, n=16k≦20によりk=1だから
(m,n)=(9k.16k = (9.16)