基礎問
45 はさみうちの原理(Ⅱ)
数列{an} は 0<a1 <3, an+1=1+√1+an (n=1, 2, 3, ... をみたす
ものとする。このとき,次の(1),(2),(3)を示せ.
(1) n=1,2,3, ･･･ に対して, 0<an<3
よって, n≧2 のとき,
3-a.<(3-an-)<()(-a)<<()(3-a)
78
79
\nl
(2) n=1,2,3,
に対して, 3-an≦
(3) liman=3
精講
11-0
(1) 漸化式から一般項を求めないで数列の性質を知りたいときま
ず数学的帰納法と考えて間違いありません。
(B
(2)これも (1) と同様に帰納法で示すこともできますが、 「台」を
「=」としてみると,等比数列の一般項の公式の形になっています。
(3)44 のポイントの形になっています。ニオイプンプンというところでしょう。
解答
(1)0<a<3………①を数学的帰納法で示す.
mir
(i) n=1 のとき, 条件より 0<a< 3 だから, ① は成りたつ.
(ii)n=k(k≧1) のとき, 0<ak <3 と仮定すると, 1 <ak+1<4
.. 1<√1+ak<2
n=1のときも考えて, 3-ans
\n-1
(3-a)
(3)(1),(2)より
0<3-ans()(3-as)
前に不等式証明
あるので匂いプンプン
11-00
ここで, lim
はさみうちの原理より
(3-
= 0 だから,
42
lim (3-am)=0
liman=3
参
考
43 でグラフを利用して数列の極限
を考えました.今回は, 38の復習も
兼ねて, グラフで考えてみます。
(a)
y=x
as
aa
y=f(x)
y=f(x)=1+√1+x と y=xのグラフを
かき, α1 を 0<x<3 をみたすようにとれば,
a2, a, ・・・と, どんどん3に近づいていく様
子が読み取れるはずです .
(an)
d a 3
10
I
ポイント 一般項が求まらない数列{an} に対しても lima は,
次の手順で求めることができる
①
anのとりうる値の範囲をおさえる
第4章
両辺に1を加えて 2<1+1+ <3
.. 2<ak+1 <3
よって, 0<ak+1 <3 が成りたつ.
(i), (ii)より, すべての自然数nについて ① は成りたつ.
(2) an+1=1+√1+an3-an+1=2√1+αn まず,左辺に3+1
(右辺)= (2-√1+am)(2+√1+αn)
2+√1+an
をつくると
(1)より,1<√1+am<2の両辺に2を加えて3<2+√1+an <4
両辺の逆数をとって1/1
3-4 >0 だから,
2+√1+an
3
3-a (3-an)
2+√1+an3
∴.3-an+1 <
÷(3-
② liman(=α) を予想する
→80
③ |an+1-α|≦klan-α (0<k<1) の形に変形し
て, はさみうち
3-an
2+√1+an
<右辺にも3-αがでて
くる
演習問題 45
xn²+2
√2+1=
1, 2, ...) で表される数列{rn} に
2.xn
ついて 次の(1),(2),(3)を示せ.
(1) √2+1<In
(2) n+1-v
(2)
(3)lim=√2
8012
