Question

いつき

こちらの作図にて、三角CABと外接円の中に描かれた三角形が相似であることの証明をお願いします。

・直線Lに対して、直線Mは平行とはいえない(明らかに平行ではない)
　よって角A≠角P, 角B≠角Pの可能性があります
・三角形の外角よれば、
　角QDS＝角P+角Q, 角PDR＝角P+角Q
　よって、角Pと角Qは角Aと角Bに等しい可能性があります
　しかし、直線Mと直線L'は傾きが違う可能性があるため、二つの角度の和が等しくとも、
　それぞれの角度が違う可能性があります

どのようにして証明をすれば良いのでしょうか。
よろしくお願いします。

A
E
B
H
33. 円の中の相似な三角形:
1. Dにおける接線 (Dを通る半径の垂線):
2. 角Aと等しい角EDFを作る:
3. 角Bと角 GDHを作る (三つ目の弦をひく)
M
P
L'
E'
G'
R
S
L'
A
●
'B

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

mo1

参考・概略です

左側の図で説明します
　直線ＤＥと円との交点のうちＤでない方をＰ
　直線ＤＧと円との交点のうちＤでない方をＱとします

△ＡＢＣと△ＱＰＤおいて

　作図の仮定より
　　∠ＣＡＢ＝∠ＦＤＰ、∠ＣＢＡ＝∠ＨＤＧ　･･･　①

　ＦＨがＤにおける円の接線である事から【接弦定理】より
　　∠ＦＤＰ＝∠ＤＱＰ、∠ＨＧＧ＝∠ＤＰＱ　･･･　②

　①，②より
　　∠ＣＡＢ＝ＤＱＰ、∠ＣＢＡ＝∠ＤＰＱ

　２組の角がそれぞれ等しく
　　△ＡＢＣ∽△ＱＰＤ

補足
【接弦定理】について
　今は，高校の範囲ですが，
　　しばらく前は，中３の範囲でしたので
　中３の発展事項として，
　　教科書・参考書等に載っていると思います

いつき

mo1さん。
おかげさまで接弦定理を用いることで、確かに2つの角が等しいことを示せました。
作図より2組の角が等しいので、確かに相似を示せました。
ありがとうございました。

自分への補足
三角形の外角を用いて、
・角A=角DQP
・角B=角DPQ
・角PDR=角DPQ+角DQP
・角PDQ=平角-角DPQ-角DQP
・角C=平角-角A-角B
・よって角C=角PDQ
3つの角は全て等しい。