Question

フルール

数学的帰納法の(2)の問題でどうすればこの解答の思考回路になるのかを教えて頂きたいです。
また、この解答もいまいち理解できません。
どうして比べているのか教えて頂きたいです。

216
第7章 数
基礎問
138 数学的帰納法 (II)
nが自然数のとき、次の各式が成立することを数学的帰納法を
用いて証明せよ.
(1) 1²+2²+...+n² = n(n+1)(2n+1) —......①℗
6
1 1 1≥ 2n
(2)1+ + ・+・・・+
精講
2 3
n n+1
·②
手順は137 と同じですが, n=kのときの式から,n=k+1のとき
この式を作り上げるときに, どんな作業をすればよいのかが問題に
よって違うので,問題に応じてどんな作業をするかを考えなければなりません
(1) i) n=1 のとき
解答
左辺 = 1. 右辺 = 1/2・1・2・3=1
143
よって, n=1のとき, 1 は成立する.
ii) n=kのとき
12+2+…+k2=1/3k(k+1)(2k+1)………T、
が成立すると仮定する.
①の両辺に(k+1)2 を加えて
Kl=1²+2²+…..+k²+(k+1)²
右辺 =1/23k(k+1)(2k+1)+(k+1)2
【左辺に,
12+22+...
+k^+(k+1)
を作ることを考える
(k+1){(2k2+k)+6(k+1)}
1
6
(k+1)(k+2)(2k+3)
これは、①の右辺に n=k+1 を代入したものである。
よって,①はn=k+1 でも成立する。
i), i)より, ① はすべての自然数nについて成立する.

(2) i) n=1のとき
217
左辺 = 1, 右辺 =
2.1
i) n=k のとき,②が成立すると仮定すると
1 2k
+・・・+
+
1+1
=1 となり, n=1のとき②は成立する.
(i)
右
1 1
1+
2 3
k
k+1
②
1
②' の両辺に
を加えると
k+1
左辺を証明したい式
1 1
1
左辺=1+-
+・・・+
+
+
にする
2 3
k
k+1 -
2k
1
2k+1
右辺 =
+
k+1 k+1
k+1
OA (8)
ここで,
5日(
k
(a)
>0
k+1
<ここがポイント
..
1+ +…+
k+2
すなわち,
2k+1_2(k+1)
1
k+2 (k+1)(k+2)
1 2k+12(k+1)
W
2k+1 k+1
1+++ 1 = 2(+1)
2
+…+
k+1
これは,② に n=k+1 を代入したものである。
よって, n=k+1 でも②は成立する.
i), ii)より,すべての自然数nについて②は成立する.
ポイント
演習問題 138
数学的帰納法を使って証明するとき, n=k のときを
仮定したら, n=k+1 のときを計算用紙に書いてお
2つの式の違いを見比べながらこれから行うべき
作業を決める
nが自然数のとき、次の各式が成立することを数学的帰納法を用
いて証明せよ.
(1)
1
1
1
n
1.2 2.3
+ +…+
n(n+1)
(
n+1
1
第7章