数学
高校生
数学Aの問題です。DGの中点Hは▲BDGの外心である。というところが理解できないです。なぜ外心になるのですか?よろしくお願いします。
138 (1)円と直線に関する次の定理を考える。
3点P,Q,R は一直線上にこの順に並んでいるとし,点Tはこの
定理
直線上にないものとする。 このとき, PQ・PR=PT2 が成り立つな
らば、直線PT は 3 点 Q,R, T を通る円に接する。
この定理が成り立つことは,次のように説明できる。
直線 PT は 3点 Q,R,Tを通る円0に接しないとする。このとき,直線 PT
は円Oと異なる2点で交わる。直線 PT と円0との交点で点Tとは異なる点
を T' とすると, PT・PT'=
イが成り立つ。 点と点T' が異な
ることにより, PT・PT' の値と PT2の値は異なる。
したがって, PQ・PR=PT2に矛盾するので,背理法により,直線 PT は3点
Q,R, T を通る円に接するといえる。
ア
イ の解答群(解答の順序は問わない)
PQ
①PR 2 QR
3 QT
④RT
(2)△ABCにおいて,AB= BC= AC=1 とする。
3
4
ウ
このとき,∠ABC の二等分線と辺 AC との交点をDとすると,AD= I
である。 直線 BC 上に, 点Cとは異なり, BC=BE となる点Eをとる。
数学A
AC
∠ABE の二等分線と線分AE との交点をFとし、直線ACとの交点をGとす
オ △ABFの面積 キ
ると,
である。
AG
カ
△AFGの面積 ク
ケ
線分 DG の中点をHとすると, BH=
である。 また, AH=
コ
シ’
A
ス
CH=
である。
セ
△ABCの外心をOとする。 △ABCの外接円0の半径が
ることから、線分BH を 1:2に内分する点をI とすると
IO=
[ト
ナ]
であることがわかる。
ニヌ
タチ
であ
[22 共通テスト追試]
SAL
すなわち
9
AP
4
AP
-1+1 i-1=4
(1) 直線 PTが3点 QR
シス 13
これを解くと AP=
Tを通る円 0に接しないとき,
右の図のようになる。
このとき,方べきの定理に
BH=
=DG
313
ソタ 13
より PTPT'=PQPRが成り立つ。
よって AQ= 26
(1,10 または 1, 10)
また AH=DH-
点Dは線分AGの中点であるから, (1) より
(2) BD は ∠ABCの
二等分線であるから
1.-
CQ
CF
3
=2..
AQ
EF
13 11
CQ=6-
EF=4+CFであるから
13
4 4
AD: CD
= AB CB
=24=2:3
2
4
ID
A
CH=AC-
△ABCについて
cOS ∠ABC=
11
4
CF
=2..
13
4+ CF
4
よって
11(4+CF) = 26CF
これを解くと
CF=
ッテ 44
ト
よって AD=
2
2+3
2
-AC=
15
直線 BG は ∠ABC
の外角の二等分線で
E
sin∠ABC +
1800
あるから
sin22
B
AG: CG
F
sin∠ABC>
(3) (1) ①,②③は△ABC の形状や点 F の位
=AB:CB=2:3
置に関係なく成り立つから
よって,
sin 2
G
A D
BP CQ
DE BF
DE CF
AC
1
+-
AP AQ
+
AC: AG=1:2であるから
△ABCにつ
AD
EF AD EF
AG
2
正弦定理によ
DE
BF+ CF
DE
AC=1であるから, AG=2である。
=2.
AD
EF
AD
BP CQ
DE
△ABF と△AFG は, BF, FG をそれぞれ底辺
としたときの高さが等しいから
sin
よって,
+
=10 のとき
-=5
すなわち
AP AQ
AD
したがって, AD: DE=1:5であり,
△ABF の面積: △AFGの面積=BF: FG
△ABFの面積
BF
すなわち
sin∠ABO
AG : GE = 2:14:2であるから
AD: DG GE=1:3:2
AD =1
ゆえに
=
DA
DG
3
△AFGの面積
△BCG と直線AEに
ついて, メネラウス
の定理により
FG
E
B
GA CE BF
F
HAHC
=1
138 ) ⑩, ① (順不同)
(ウ)
(エ
2-5
AC EB FG
あるから
(オ)
(カ) 2
1
(キ) 1
(ク)
4
コ
65
GA
が成り立つ。
2 CE 2
AD C
(1)の定理
AC = 1 EB = 1 であるから
BF 1
FG 4
14
直線 HB
外接円
(サ) 4
(ス) 9
(シ) 5
よって
(セ) 5
△ABFの面積
△AFGの面積
1
ク 4
(ソ)√(タチ)
2/15
DGの中点をHとする
E
(シテ)
15
(1)√(ナ)
4√6
と, 右の図のようになる。
△BDG は,
ZI
BO=-
1
BI=
(ヌ)
15
∠DBG=90°の直角
から,
F
解答のポイント-
三角形であるから,線
IO2
(1) 定理の説明を読み, 図を描けば, 方べきの
定理に関する定理であることがわかる。
DGの中点Hは
G
HAD C
△BDGの外心である。
IO>>
JAZ
ZOEH=
点Bは外接円上の点であるから, BH は外接円
の半径である。
DGは外接円の直径であるから
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