数学
高校生

数学Aの問題です。DGの中点Hは▲BDGの外心である。というところが理解できないです。なぜ外心になるのですか?よろしくお願いします。

138 (1)円と直線に関する次の定理を考える。 3点P,Q,R は一直線上にこの順に並んでいるとし,点Tはこの 定理 直線上にないものとする。 このとき, PQ・PR=PT2 が成り立つな らば、直線PT は 3 点 Q,R, T を通る円に接する。 この定理が成り立つことは,次のように説明できる。 直線 PT は 3点 Q,R,Tを通る円0に接しないとする。このとき,直線 PT は円Oと異なる2点で交わる。直線 PT と円0との交点で点Tとは異なる点 を T' とすると, PT・PT'= イが成り立つ。 点と点T' が異な ることにより, PT・PT' の値と PT2の値は異なる。 したがって, PQ・PR=PT2に矛盾するので,背理法により,直線 PT は3点 Q,R, T を通る円に接するといえる。 ア イ の解答群(解答の順序は問わない) PQ ①PR 2 QR 3 QT ④RT (2)△ABCにおいて,AB= BC= AC=1 とする。 3 4 ウ このとき,∠ABC の二等分線と辺 AC との交点をDとすると,AD= I である。 直線 BC 上に, 点Cとは異なり, BC=BE となる点Eをとる。 数学A AC ∠ABE の二等分線と線分AE との交点をFとし、直線ACとの交点をGとす オ △ABFの面積 キ ると, である。 AG カ △AFGの面積 ク ケ 線分 DG の中点をHとすると, BH= である。 また, AH= コ シ’ A ス CH= である。 セ △ABCの外心をOとする。 △ABCの外接円0の半径が ることから、線分BH を 1:2に内分する点をI とすると IO= [ト ナ] であることがわかる。 ニヌ タチ であ [22 共通テスト追試] SAL
すなわち 9 AP 4 AP -1+1 i-1=4 (1) 直線 PTが3点 QR シス 13 これを解くと AP= Tを通る円 0に接しないとき, 右の図のようになる。 このとき,方べきの定理に BH= =DG 313 ソタ 13 より PTPT'=PQPRが成り立つ。 よって AQ= 26 (1,10 または 1, 10) また AH=DH- 点Dは線分AGの中点であるから, (1) より (2) BD は ∠ABCの 二等分線であるから 1.- CQ CF 3 =2.. AQ EF 13 11 CQ=6- EF=4+CFであるから 13 4 4 AD: CD = AB CB =24=2:3 2 4 ID A CH=AC- △ABCについて cOS ∠ABC= 11 4 CF =2.. 13 4+ CF 4 よって 11(4+CF) = 26CF これを解くと CF= ッテ 44 ト よって AD= 2 2+3 2 -AC= 15 直線 BG は ∠ABC の外角の二等分線で E sin∠ABC + 1800 あるから sin22 B AG: CG F sin∠ABC> (3) (1) ①,②③は△ABC の形状や点 F の位 =AB:CB=2:3 置に関係なく成り立つから よって, sin 2 G A D BP CQ DE BF DE CF AC 1 +- AP AQ + AC: AG=1:2であるから △ABCにつ AD EF AD EF AG 2 正弦定理によ DE BF+ CF DE AC=1であるから, AG=2である。 =2. AD EF AD BP CQ DE △ABF と△AFG は, BF, FG をそれぞれ底辺 としたときの高さが等しいから sin よって, + =10 のとき -=5 すなわち AP AQ AD したがって, AD: DE=1:5であり, △ABF の面積: △AFGの面積=BF: FG △ABFの面積 BF すなわち sin∠ABO AG : GE = 2:14:2であるから AD: DG GE=1:3:2 AD =1 ゆえに = DA DG 3 △AFGの面積 △BCG と直線AEに ついて, メネラウス の定理により FG E B GA CE BF F HAHC =1 138 ) ⑩, ① (順不同) (ウ) (エ 2-5 AC EB FG あるから (オ) (カ) 2 1 (キ) 1 (ク) 4 コ 65 GA が成り立つ。 2 CE 2 AD C (1)の定理 AC = 1 EB = 1 であるから BF 1 FG 4 14 直線 HB 外接円 (サ) 4 (ス) 9 (シ) 5 よって (セ) 5 △ABFの面積 △AFGの面積 1 ク 4 (ソ)√(タチ) 2/15 DGの中点をHとする E (シテ) 15 (1)√(ナ) 4√6 と, 右の図のようになる。 △BDG は, ZI BO=- 1 BI= (ヌ) 15 ∠DBG=90°の直角 から, F 解答のポイント- 三角形であるから,線 IO2 (1) 定理の説明を読み, 図を描けば, 方べきの 定理に関する定理であることがわかる。 DGの中点Hは G HAD C △BDGの外心である。 IO>> JAZ ZOEH= 点Bは外接円上の点であるから, BH は外接円 の半径である。 DGは外接円の直径であるから
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