Question

たなかあお

なぜ3分の4aで最大値とならないんですか？＝がついてるから最大値はx＝3分のaの時と3分の4の時じゃないんですか？教えてください

354
基本 例題 223 係数に文字を含む3次関数の最大・最小
a を正の定数とする。 3次関数f(x)=x2ax2+α'x 0≦x≦1 における最大
値M (α) を求めよ。
類立命館大]
基本219 重要 224
000
指針 文字係数の関数の最大値であるが, p.350 基本例題 219 と同じ要領で,極値と区間の
y
を
端での関数の値を比べて最大値を決定する。
f(x) の値の変化を調べると, y=f(x) のグラフは右図のよう
になる(原点を通る)。ここで,x=1/3以外にf(x)=f(1)
満たすx (これをαとする) があることに注意が必要。
よって、1/3, a (10/<a)が区間0≦x≦1に含まれるかどうか
3'
で場合分けを行う。
f'(x)=3x2-4ax+α²= (3x-a)(x-a)
解答 f'(x)=0とすると
a
x=
a
3'
a>0であるから, f(x) の増減表は次のようになる。
a
...
a
...
-
0 +
a
a
3
ax
まずは、f'(x)=0を満た
すxの値を調べ, 増減表
をかく。
<a>0 から
0<<a
x
3
f'(x) + 0
f(x) 極大 極小>>(0)
ここで,f(x)=x(x2-2ax+α2)=x(x-α)から
x=
4
()=(-a)-a, f(a)=0
1/3以外にf(x) = 27 を満たすxの値を求めると,
4
f(x)=から
27
4
x³-2ax²+ax-7a²=0
(*) 曲線 y=f(x) と直線
y=
v=1は、x=1/3の
点において接するから、
f(x)-(x-1)
で割り切れる。このこと
を利用して因数分解する
とよい。
XC
ゆえに (x-1)(x-/1/20)-0
1
-2a
a²
=0
a
5
02
27
3
3
x=1であるから
4
x=
a
5
4
1
a
a²
0
うになる。
よって, f(x) 0≦x≦1における最大値M (α) は,次のよ
3
a
4
a²
3
9
[1] 1<- a
すなわちα>3のとき [1]
1
-
a
0
3
f(x)はx=1で最大となり
a2-2a+1
M(α)=f(1)
0
13
-最大
a
X
指針」
******
★ の方針。
[1] は区間に極値をとる
xの値を含まず 区間の
右端で最大となる場合。

00
最大
型224.
間の
set
-α すなわち
sas3のとき
f(x)はx=
a
= 1/3で最大となり
M(a) = f()
[2]
0
[3] 0<<1
すなわち
[3] y
0<a< 21/2 のとき,
a-2a+1
f(x)はx=1で最大となり
a³
10a
a
3
M(a)=f(1)
3
0<a<12/13<a のとき
M(a)=f(1)=a²-2a+1
以上から
満た
減表
[2] は区間に極大値をと
るxの値を含み、 極大値
が最大値となる場合。
355
[3] は区間に極大値をと
るxの値を含むが、 区間
の右端の方が極大値より
も大きな値をとり, 区間
の右端で最大となる場合。
f(1)=13-2a-12+a².1
3
4
≦a≦3のとき M(a)=7a³
=a2-2a+1
3次関数の対称性の利用
p.344 の参考事項で紹介した性質, 3 を用いて,f(x)=1/27adを満たすx=/1/3以外のx
)
の値を調べることもできる。
2つの極値をとる点を結ぶ線分の中点 (つまり, 変曲点)の
x=2a_2
y=f(x)
x 座標は
a
3･1 3
2
2
よって,
3
3
1a-9-a-1a-47, a+3=1a 5.
4
a= で, at
4
11/30) = 2/7でとなる。
なお, p.344 で紹介した性質を用いる方法は,検算で使う程度
としておきたい。
also
・a
a
1
9
章
37

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

鯛のお造り

0≦x≦1の範囲での最大値を聞かれているためです。解答で言うところの青色網掛け部の範囲内で考える必要があります