✨ ベストアンサー ✨
ユニタリ変換であることが証明できてるのであればユニタリ変換の定義にTの全射性は含まれてますね。
線形変換で等長変換ならば単射です。
V→TVという風に値域を制限して考えたら当然に全射となります。
単射性は明らかですね。
値域を T(V) に制限すればそれはそうなんですが，今読んでる本によるとこの T は V のユニタリ変換，すなわち T は V→V の計量同型写像とのことなので T(V)=V である必要があると思うんですがどうでしょう。
そのとおりです。
=というか同型ですけれども。
いま T が線型写像かつ単射なので， T(V)=V （すなわち V 自身を値域として T が全射）であることがいえれば T(V)≌V が従いますよね。私が詰まっているのは T(V)=V を示すところなんですが，なにかいい方法ありませんか？
たぶん本に線形写像Tがどこからどこへの写像か定義書いてませんか？
V→Vで単射ならば全射で全単射になりますね。
「 V→V で単射ならば全射」はどのようにして示されますか？
自分から自分への単射なので全射です。
その事実がどう示されるのかを知りたいです。一般の集合に対しては，写像が自分自身への単射だからといって全射とは限りませんよね。ということは，その事実が成り立つには V が線型空間であることや T が線型写像であることが効いてくると思います。一般の集合と異なる今回の状況の特殊性がわかるように説明してほしいです。
f:V→V を単射な線型写像とすれば kerf={o} だから
dimV=dim(kerf)+dim(Imf)
すなわち
dimV=dim(Imf)
ここから直ちに V=Imf が従うという訳ですね。
納得しました，ありがとうございます。
斎藤線形読んでおられるのですね。
僕は大学生時代はこの本は難しくて読めてなかったです。
線形はマセマと長岡でした。
よく分かりましたね笑 長岡は初めて聞きました
難しいですが黙々と考えるのが好きなので楽しいです
すみません語弊がありました，ユニタリ変換であることを証明する過程で T の全射性を示す必要がでてきたっていう感じです