この問題は、過去分詞というところですね。
beenは、beの不規則動詞なので、
have(has) beenは、現在完了として、使われている単語だと思ってください。
〜からは、継続を表す意味なので、sinceになります。
回答
主語＋have[has]＋動詞の過去分詞で、現在完了の形となります。
現在完了は3つの用法がありますが、この問題では継続用法（ずっと〜だ）の意味で使います。
sickは動詞ではないので、前にbeをつけないといけません。
Be sick で意味が通じるようになるのです。
なのでbeを動詞に当てはめて、過去分詞形にするのでbeenにします。
そのため My mother has been sick 〜. となります。
分かりにくかったらすみません🙇🏻՞
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