Question

Ting

想請問這題，這題我沒什麼頭緒

Z
≤k <√5
方程式sinx+2cosx=k,在0≤x≤ 2 的範圍內有兩個相異的實數解,試求
2
SUNX+2005X
k的範圍.
馬

三角函數

Answer 1

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qn

角度一樣，有sin又有cos
用正餘弦疊合
sinx + 2cosx
= √5 [ (1/√5)sinx + (2/√5)cosx ]
= √5 sin(x+φ)
(設 0 < φ < π/2 且滿足 sinφ = 2/√5, cosφ = 1/√5)
(可畫圖輔助)

√5 sin(x+φ) = k
sin(x+φ) = k/√5
在 0 ≤ x ≤ π/2 有兩個解
換句話說，在 φ ≤ x+φ ≤ π/2+φ 有兩個解
這時候可以畫圖輔助
(單位圓or函數圖形，見圖一、圖二)

圖中綠色的弧對應 sin(x+φ) 的範圍
由於它和 y=k/√5 有兩相異交點
可知 sinφ ≤ k/√5 < 1
(注意：因為 sinφ > cosφ ⇒ φ > 45°，所以下限是 sinφ 而不是 sin(φ+π/2) )

因此 2 ≤ k < √5

Ting

為什麼設 0 < φ < π/2

qn

先把上面原本假設的 φ 改叫 φ₀

其實只要滿足 sinφ = 2/√5, cosφ = 1/√5
就算設 φ = φ₀ + 2π 或 φ₀ - 8π 等等
後面計算都不會有影響

只是為了避免混淆
所以選最方便計算的φ值，也就是φ₀來考慮

Ting

因為sinφ > cosφ，所以 φ > 45°，這邊我懂，可是為什麼這邊就可以得出下限是 sinφ 而不是 sin(φ+π/2)

qn

φ 在45°以上或以下會導致圖中兩種不同的情況
k的下限分別為 sin(φ+π/2) 和 sinφ

也可以直接將這兩種情況可以總結成
k ≥ max{sinφ, sin(φ+π/2)}