Question

ひー

和積の公式を使うところで加法定理にしちゃったんですけど、どうしてダメなのか教えてください。

58 導関数
(1) 関数 f(x) が微分可能のとき, 導関数f'(x)の定義をかけ.
(2)(1)とlim
sin x
x→0 IC
3
-=1 のみを用いて, f(x) =cosx の導関数を求めよ.
精講
導関数の定義は解答の (1) を見てもらうことにして,ここでも(1)の答
えの形ではなく、ポイントの形で頭に入れておく方がよいでしょう.
解答
(1)f'(x)=lim
h→0
f(x+h)-f(x)
h
(2)f(x+h)-f(x)=cos(x+h)-cos I
=-2sin(x+2) sin 1/2/
ht (注参照 和積
+
h
f(x+h)-f(x)
sin →>>>
h
f(x)=-sin(x+1/2)
2
→微分では
h-
そろえる
2
mil
h
sin
f(x+h)-f(x)
2
よって, lim
-=- —sinx lim
-=1 より
h→0
h
h→0
h
2
:.f'(x)=-sinx
A+B A-B
注
cos A-cos B=-2sin-
-sin-
(IIB ベク 57 和積の公式)
2
2
ポイント
f'(x)=lim
f(x+A)-f(x)
(△はすべて同じもの
△→0
演習問題 58
定義にしたがって,次の導関数を求めよ.
(1) y=√x+1 (x>-1)
x+2
(2)y=
x+1
第5章

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あ

加法定理を使っても解けるなら問題ありません。
f(x)=cosxとおくと
f(x+h)-f(x)
=cos(x+h)-cosx
=cosxcosh-sinxsinh-cosx
=cosx(cosh-1)-sinxsinh
よって
lim(x→h){f(x+h)-f(x)}/h
=lim(x→h)cosx{(cosh-1)/h}-sinx{sinh/h}
=lim(x→h)cosx{(cos²h-1)/h(cosh+1)}-sinx{sinh/h}
=lim(x→h)cosx{(cos²h-1)/h(cosh+1)}-sinx{sinh/h}
=lim(x→h)cosx{(-sin²h/h²)(h/cosh+1)}-sinx{sinh/h}
=cosx(-1)×1²×0/2-sinx×1
=-sinx

ひー

h→0 をx→hに変えてもいいんですか？

あ

ミスです。h→0か正しいです。

ひー

答えて下さりありがとうございました！