Question

rs

（3）はどうしてこのような式になるのでしょうか？

出題パターン
91 原子モデル
そのまま
出る!
ボーアの水素原子模型では,+e の電気量を持つ陽子のまわりに - の
電気量を持つ質量m の電子が,半径の円軌道上を速さで運動している
ものと考える。 プランク定数をん, 真空中での光速をc, クーロン力の比例
定数をとする。
(2) 電子の運動エネルギーと電気力による位置エネルギーの和をke.
(1) 電子に働く遠心力と電気力のつりあいの式を書け。
r
を用いて表せ。ただし、電気力による位置エネルギーは無限遠を基準とす
る。
(3)量子数をn= 1, 2, 3, …として、電子が安定な軌道を運動し続けるた
めの条件を mvr, h, n を用いて表せ。
(4)安定な軌道半径rame, h,k, n を用いて表せ。
(5)エネルギー準位Enをme, h,k,n を用いて表せ。
解答のポイント!
た
原子核のまわりを回る電子は粒子性と波動性の両方を持っているので,まずは
粒子として,次に波動として安定に存在できる条件を求める。 本間は試験にその
まま出るので,何も見ずに と Em を導けるようにしよう。
【解法
(1) まず図 26-12 のように, 電子を陽
電位は向き×
土
子のまわりを円運動している粒子と
回る人
みなす。回る人から見た力のつりあte
いの式より,
クーロン力
m²² = ke² ... ①©
r
(2)電子の持つ力学的エネルギーE
図26-12
は運動エネルギーと電気力による位
置エネルギーの和であり,
E=123mo
-mv² + (-e))
運動エネルギー
位置エネルギー
この式に① ② (図 26-12 参照) を代入して
1 ke
ke
ke²
E=
=
+(-e)·
2r
2 r
r
遠心力
02
r
④がの位置
につくる電位は
y=ke...
STACE 36
と
291

(3) 次に電子を波とみなす。
電子が円軌道上に電子波と
しても安定に存在するために
は,図 26-13 の左のように電
子波がぴったり閉じるように
入ることが必要である。 もし、
ぴったり閉じなければ、 図26
-13 の右のように, 1周目,
ぴったり閉じ
ている
ぴったり
閉じない
|安定(n=4のとき)
不安定
図26-13
2周目 3周目･･･の波どうしが全くでたらめに重なり合って, それらの合成波
の変位は0となって打ち消しあってしまう。よって,電子が波として安定に存
在できる条件は「ぴったり閉じる」つまり,
2
h
2πr = n ×
mv
亡く同
1周の長さ 整数 電子波の波長
④ 答

Answer 1

あ

ボーアの量子条件と呼ばれる式です。
2πr = nλ の λ に、ド・ブロイ波長 λ = h / mv を代入すれば、(3) の式になります。